微分積分例

$y = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

ステップ 1

右辺を有理指数で書き換えます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.2.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.2.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 4.3.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.3.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 4.3.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 4.3.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.4.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 4.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 4.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 4.3.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 4.3.6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 4.3.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 4.3.8

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 4.3.8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 4.3.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 4.3.10

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 4.3.11

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $x^{- 1}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}$

ステップ 4.3.12

指数を足して $x^{- \frac{1}{2}}$ に $x^{- 1}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.12.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}$

ステップ 4.3.12.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

ステップ 4.3.12.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

ステップ 4.3.12.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

ステップ 4.3.12.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.12.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}$

ステップ 4.3.12.5.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}$

ステップ 4.3.12.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 4.3.13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.4

簡約します。

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ステップ 4.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.4.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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