微分積分例

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{3 e^{2 x - 6} - x}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - 3 x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

ステップ 1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

ステップ 1.2.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

ステップ 1.2.4

すべての $x$ に $3$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3^{2} - 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

ステップ 1.2.4.2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3^{2} - 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

ステップ 1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{9 - 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

ステップ 1.2.5.1.2

$- 3$ に $3$ をかけます。

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

ステップ 1.2.5.2

$9$ から $9$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} x}$

ステップ 1.3.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 lim_{x \to 3} e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} x}$

ステップ 1.3.3

指数に極限を移動させます。

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to 3} 2 x - 6} - lim_{x \to 3} x}$

ステップ 1.3.4

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} x}$

ステップ 1.3.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} x}$

ステップ 1.3.6

$x$ が $3$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} x}$

ステップ 1.3.7

すべての $x$ に $3$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} x}$

ステップ 1.3.7.2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 3}$

ステップ 1.3.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.1.1.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{0}{3 e^{6 - 1 \cdot 6} - 3}$

ステップ 1.3.8.1.1.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{0}{3 e^{6 - 6} - 3}$

ステップ 1.3.8.1.2

$6$ から $6$ を引きます。

$\frac{0}{3 e^{0} - 3}$

ステップ 1.3.8.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 3}$

ステップ 1.3.8.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{3 - 3}$

ステップ 1.3.8.2

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.8.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.9

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{3 e^{2 x - 6} - x} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $x^{2} - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

ステップ 3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

ステップ 3.4.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

ステップ 3.5

総和則では、 $3 e^{2 x - 6} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 3.6

$\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.6.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{2 x - 6}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 3.6.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x - 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.6.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - 6$ とします。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 3.6.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 3.6.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x - 6$ で置き換えます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 3.6.3

総和則では、 $2 x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 3.6.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 3.6.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 3.6.6

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 3.6.7

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 3.6.8

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 3.6.9

$2$ を $e^{2 x - 6}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (2 e^{2 x - 6}) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 3.6.10

$2$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 3.7

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} - \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.7.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} - 1}$

ステップ 4

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 3} 2 x - 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

ステップ 5

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

ステップ 6

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

ステップ 7

$x$ が $3$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

ステップ 8

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} 1}$

ステップ 9

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 lim_{x \to 3} e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} 1}$

ステップ 10

指数に極限を移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{lim_{x \to 3} 2 x - 6} - lim_{x \to 3} 1}$

ステップ 11

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} 1}$

ステップ 12

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} 1}$

ステップ 13

$x$ が $3$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} 1}$

ステップ 14

$x$ が $3$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

ステップ 15

すべての $x$ に $3$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

ステップ 15.2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

ステップ 16

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 - 1 \cdot 3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

ステップ 16.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 - 3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

ステップ 16.1.3

$6$ から $3$ を引きます。

$\frac{3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

ステップ 16.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{3}{6 e^{6 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

ステップ 16.2.1.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{3}{6 e^{6 - 6} - 1 \cdot 1}$

ステップ 16.2.2

$6$ から $6$ を引きます。

$\frac{3}{6 e^{0} - 1 \cdot 1}$

ステップ 16.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{3}{6 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 16.2.4

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{6 - 1 \cdot 1}$

ステップ 16.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{6 - 1}$

ステップ 16.2.6

$6$ から $1$ を引きます。

$\frac{3}{5}$

微分積分 例

微分積分例