微分積分例

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x \sqrt{16 x^{2} - 5}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t)$ とします。次に $d x = \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4}$ は正であることに注意します。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 {(\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t))}^{2} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt{16 {(\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t))}^{2} - 5}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$\frac{\sqrt{5}}{4}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 {(\frac{\sqrt{5} \sec (t)}{4})}^{2} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.1.1.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

積の法則を $\frac{\sqrt{5} \sec (t)}{4}$ に当てはめます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{{(\sqrt{5} \sec (t))}^{2}}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.1.1.2.2

積の法則を $\sqrt{5} \sec (t)$ に当てはめます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{{\sqrt{5}}^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.1.1.3

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.1.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.1.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.1.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.1.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5^{1} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.1.1.3.5

指数を求めます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5 \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.1.1.4

$4$ を $2$ 乗します。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5 \sec^{2} (t)}{16} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.1.1.5

$16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5 \sec^{2} (t)}{16} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.1.1.5.2

式を書き換えます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 \sec^{2} (t) - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.1.2

$5$ を $5 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 (\sec^{2} (t)) - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.1.3

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 \sec^{2} (t) + 5 \cdot - 1}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.1.4

$5$ を $5 \sec^{2} (t) + 5 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.1.6

$5$ と $\tan^{2} (t)$ を並べ替えます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{\tan^{2} (t) \cdot 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) (\tan (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{\sqrt{5}}{4}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5} \sec (t)}{4} (\tan (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.2.2

$\tan (t)$ と $\frac{\sqrt{5} \sec (t)}{4}$ をまとめます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (\sqrt{5} \sec (t))}{4} \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.2.3

$\frac{\tan (t) (\sqrt{5} \sec (t))}{4}$ と $\sqrt{5}$ をまとめます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (\sqrt{5} \sec (t)) \sqrt{5}}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.2.4

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.2.5

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{5}}^{1 + 1} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{5}}^{2} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.2.8

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 2.2.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.2.8.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.2.8.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5^{\frac{2}{2}} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.2.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.4.1

共通因数を約分します。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5^{\frac{2}{2}} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.2.8.4.2

式を書き換えます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5^{1} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.2.8.5

指数を求めます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5 \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.2.9

$5$ を $\tan (t)$ の左に移動させます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{5 \cdot \tan (t) \sec (t)}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.2.10

分数の逆数を掛け、 $\frac{5 \tan (t) \sec (t)}{4}$ で割ります。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} 1 \frac{4}{5 \tan (t) \sec (t)} \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.2.11

$\frac{4}{5 \tan (t) \sec (t)}$ に $1$ をかけます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4}{5 \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

ステップ 2.2.12

$\frac{4}{5 \tan (t) \sec (t)}$ に $\frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4}$ をかけます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4 (\sqrt{5} \sec (t) \tan (t))}{5 \tan (t) \sec (t) \cdot 4} d t$

ステップ 2.2.13

$4$ に $5$ をかけます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4 (\sqrt{5} \sec (t) \tan (t))}{20 \tan (t) \sec (t)} d t$

ステップ 2.2.14

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.14.1

$4$ を $20 \tan (t) \sec (t)$ で因数分解します。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4 (\sqrt{5} \sec (t) \tan (t))}{4 (5 \tan (t) \sec (t))} d t$

ステップ 2.2.14.2

共通因数を約分します。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4 (\sqrt{5} \sec (t) \tan (t))}{4 (5 \tan (t) \sec (t))} d t$

ステップ 2.2.14.3

式を書き換えます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{5 \tan (t) \sec (t)} d t$

ステップ 2.2.15

$\sec (t)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.15.1

共通因数を約分します。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{5 \tan (t) \sec (t)} d t$

ステップ 2.2.15.2

式を書き換えます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5} \tan (t)}{5 \tan (t)} d t$

ステップ 2.2.16

$\tan (t)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.16.1

共通因数を約分します。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5} \tan (t)}{5 \tan (t)} d t$

ステップ 2.2.16.2

式を書き換えます。

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5}}{5} d t$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{5}}{5} t]_{0.97759655}^{1.4305831}$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$1.4305831$ および $0.97759655$ で $\frac{\sqrt{5}}{5} t$ の値を求めます。

$(\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 1.4305831) - \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0.97759655$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\frac{\sqrt{5}}{5}$ と $1.4305831$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{5} \cdot 1.4305831}{5} - \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0.97759655$

ステップ 4.2.2

$\sqrt{5}$ に $1.4305831$ をかけます。

$\frac{3.19888106}{5} - \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0.97759655$

ステップ 4.2.3

$0.97759655$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3.19888106}{5} - 0.97759655 \frac{\sqrt{5}}{5}$

ステップ 4.2.4

$- 0.97759655$ と $\frac{\sqrt{5}}{5}$ をまとめます。

$\frac{3.19888106}{5} + \frac{- 0.97759655 \sqrt{5}}{5}$

ステップ 4.2.5

$- 0.97759655$ に $\sqrt{5}$ をかけます。

$\frac{3.19888106}{5} + \frac{- 2.18597234}{5}$

ステップ 4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{3.19888106}{5} - \frac{2.18597234}{5}$

ステップ 4.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3.19888106 - 2.18597234}{5}$

ステップ 4.2.8

$3.19888106$ から $2.18597234$ を引きます。

$\frac{1.01290872}{5}$

ステップ 5

$1.01290872$ を $5$ で割ります。

$0.20258174$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例