微分積分例

$x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3} = 0$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 2.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 y$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$1 - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$1 - 4 y' + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 y^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.4.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 y^{2} y')$

ステップ 2.4.4

$3$ に $3$ をかけます。

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 9 y^{2} y'$

ステップ 2.5

項を並べ替えます。

$3 x^{2} + 9 y^{2} y' + 1 - 4 y'$

ステップ 3

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} + 9 y^{2} y' + 1 - 4 y' = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$9 y^{2} y' + 1 - 4 y' = - 3 x^{2}$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$9 y^{2} y' - 4 y' = - 3 x^{2} - 1$

ステップ 5.2

$y'$ を $9 y^{2} y' - 4 y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y'$ を $9 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y' (9 y^{2}) - 4 y' = - 3 x^{2} - 1$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $- 4 y'$ で因数分解します。

$y' (9 y^{2}) + y' \cdot - 4 = - 3 x^{2} - 1$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $y' (9 y^{2}) + y' \cdot - 4$ で因数分解します。

$y' (9 y^{2} - 4) = - 3 x^{2} - 1$

ステップ 5.3

$9 y^{2}$ を ${(3 y)}^{2}$ に書き換えます。

$y' ({(3 y)}^{2} - 4) = - 3 x^{2} - 1$

ステップ 5.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y' ({(3 y)}^{2} - 2^{2}) = - 3 x^{2} - 1$

ステップ 5.5

因数分解。

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ステップ 5.5.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3 y$ であり、 $b = 2$ です。

$y' ((3 y + 2) (3 y - 2)) = - 3 x^{2} - 1$

ステップ 5.5.2

不要な括弧を削除します。

$y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$

ステップ 5.6

$y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$ の各項を $(3 y + 2) (3 y - 2)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.6.1

$y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$ の各項を $(3 y + 2) (3 y - 2)$ で割ります。

$\frac{y' (3 y + 2) (3 y - 2)}{(3 y + 2) (3 y - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

ステップ 5.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.6.2.1

$3 y + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (3 y + 2) (3 y - 2)}{(3 y + 2) (3 y - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

ステップ 5.6.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

ステップ 5.6.2.2

$3 y - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

ステップ 5.6.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

ステップ 5.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.6.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

ステップ 5.6.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} - \frac{1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} - \frac{1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

微分積分 例

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