微分積分例

$f (x) = 6 x^{\frac{7}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}} + 2 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $6 x^{\frac{7}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}} + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{\frac{7}{2}}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.2

$n = \frac{7}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.6.2

$7$ から $2$ を引きます。

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.7

$\frac{7}{2}$ と $x^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$6 \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.8

$6$ と $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{6 (7 x^{\frac{5}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.9

$7$ に $6$ をかけます。

$\frac{42 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.10

$2$ を $42 x^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.11

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.11.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.11.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.11.3

式を書き換えます。

$\frac{21 x^{\frac{5}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2.11.4

$21 x^{\frac{5}{2}}$ を $1$ で割ります。

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{\frac{5}{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ です。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.2

$n = \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.5

公分母の分子をまとめます。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.6.2

$5$ から $2$ を引きます。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.7

$\frac{5}{2}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.8

$4$ と $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ をまとめます。

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{4 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.9

$5$ に $4$ をかけます。

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{20 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.10

$2$ を $20 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.11

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.11.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.11.2

共通因数を約分します。

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.11.3

式を書き換えます。

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.11.4

$10 x^{\frac{3}{2}}$ を $1$ で割ります。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1$

ステップ 1.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$21$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $21 x^{\frac{5}{2}}$ の微分係数は $21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ です。

$21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.5

公分母の分子をまとめます。

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.6.2

$5$ から $2$ を引きます。

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.7

$\frac{5}{2}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$21 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.8

$21$ と $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{21 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.9

$5$ に $21$ をかけます。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ です。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.7

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.8

$10$ と $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{10 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.9

$3$ に $10$ をかけます。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{30 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.10

$2$ を $30 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.11

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.11.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.11.2

共通因数を約分します。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.11.3

式を書き換えます。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.11.4

$15 x^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}} + 0$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.5.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ です。

$15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

微分積分 例

微分積分例