微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \tan (5 x)}{1 - \cos (x) - \tan (x)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

ステップ 1.1.2.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

ステップ 1.1.2.4

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

ステップ 1.1.2.5

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \tan (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

ステップ 1.1.2.6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - \cos (0) + \tan (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

ステップ 1.1.2.6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - \cos (0) + \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

ステップ 1.1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

ステップ 1.1.2.7.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1 + \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

ステップ 1.1.2.7.1.3

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{1 - 1 + \tan (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

ステップ 1.1.2.7.1.4

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

ステップ 1.1.2.7.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

ステップ 1.1.2.7.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

ステップ 1.1.3.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

ステップ 1.1.3.4

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.1.3.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - \cos (0) - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.1.3.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - \cos (0) - \tan (0)}$

ステップ 1.1.3.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 - \tan (0)}$

ステップ 1.1.3.6.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1 - \tan (0)}$

ステップ 1.1.3.6.1.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{1 - 1 - 0}$

ステップ 1.1.3.6.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1 + 0}$

ステップ 1.1.3.6.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0 + 0}$

ステップ 1.1.3.6.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \tan (5 x)}{1 - \cos (x) - \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $1 - \cos (x) + \tan (5 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.4.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.4.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.5

$\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.5.1

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.5.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.5.1.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.5.1.3

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.5.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.5.4

$5$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.5.5

$5$ を $\sec^{2} (5 x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + 5 \sec^{2} (5 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 5 \sec^{2} (5 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.6.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1

正弦と余弦に関して $\sec (5 x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 5 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.6.2.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (5 x)}$ に当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.6.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 5 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.6.2.4

$5$ と $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $1 - \cos (x) - \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

ステップ 1.3.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

ステップ 1.3.9

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.9.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

ステップ 1.3.9.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

ステップ 1.3.9.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

ステップ 1.3.9.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

ステップ 1.3.10

$\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.10.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \tan (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + \sin (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

ステップ 1.3.10.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + \sin (x) - \sec^{2} (x)}$

ステップ 1.3.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.11.1

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \sec^{2} (x)}$

ステップ 1.3.11.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.11.2.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

ステップ 1.3.11.2.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 1.3.11.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 1.4

項をまとめます。

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ステップ 1.4.1

$\sin (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos^{2} (5 x)}{\cos^{2} (5 x)}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 1.4.2

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 1.4.3

$\sin (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 1.4.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{\cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (5 x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.5

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.6

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\cos^{2} (5 x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{2} + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.7

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.8

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.9

$x$ が $0$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.10

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\cos^{2} (5 x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{{(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{2}}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.11

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} 5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.12

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.13

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.14

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.15

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.16

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.17

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\cos^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.18

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.19

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.20

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\cos^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

ステップ 2.21

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

ステップ 3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 3.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 3.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 3.5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 3.6

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{\frac{0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 4.1.2

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{\frac{0 \cdot \cos^{2} (0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 4.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{\frac{0 \cdot 1^{2} + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 4.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\frac{0 \cdot 1 + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 4.1.5

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{0 + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 4.1.6

$0$ と $5$ をたし算します。

$\frac{\frac{5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{\frac{5}{\cos^{2} (0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 4.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{\frac{5}{1^{2}}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 4.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 4.3.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 4.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 \cdot 1 - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 4.3.4

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 4.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 - 1}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 4.3.6

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{- 1}{\cos^{2} (0)}}$

ステップ 4.4

分母を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{- 1}{1^{2}}}$

ステップ 4.4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{- 1}{1}}$

ステップ 4.5

$5$ を $1$ で割ります。

$\frac{5}{\frac{- 1}{1}}$

ステップ 4.6

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{5}{- 1}$

ステップ 4.7

$\frac{5}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$- 1 \cdot 5$

ステップ 4.8

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 5$

微分積分 例

微分積分例