微分積分例

$f (x) = \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

ステップ 1

$x = f (x)$ とし、両辺 $\ln (x) = \ln (f (x))$ の自然対数を取ります。

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4}))$

ステップ 2

右側を展開します。

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ステップ 2.1

$\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$ を $\ln (e^{x} x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4})$ に書き換えます。

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x} x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

ステップ 2.2

$\ln (e^{x} x^{3})$ を $\ln (e^{x}) + \ln (x^{3})$ に書き換えます。

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x}) + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

ステップ 2.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

ステップ 2.4

$3$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{3})$ を展開します。

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + 3 \ln (x) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

ステップ 2.5

$4$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(x + 1)}^{4})$ を展開します。

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

ステップ 2.6

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (f (x)) = \ln (x \cdot 1 + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

ステップ 2.7

$x$ に $1$ をかけます。

$\ln (f (x)) = \ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

ステップ 3

連鎖律を利用して式を微分します。 $y$ が $x$ の関数であることを覚えておいてください。

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ステップ 3.1

連鎖律を利用して左側 $\ln (f (x))$ を微分します。

$\frac{x'}{x} = \ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

ステップ 3.2

右側を微分します。

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ステップ 3.2.1

$\ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$ を微分します。

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d x} [\ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ とします。

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

ステップ 3.2.2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

ステップ 3.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ で置き換えます。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

ステップ 3.2.3

微分します。

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ステップ 3.2.3.1

総和則では、 $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)]$ です。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

ステップ 3.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

ステップ 3.2.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \ln (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

ステップ 3.2.4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + 3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

ステップ 3.2.5

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 3.2.5.1

$3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

ステップ 3.2.5.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \ln (x + 1)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ です。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])$

ステップ 3.2.6

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + 1$ とします。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]))$

ステップ 3.2.6.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

ステップ 3.2.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

ステップ 3.2.7

微分します。

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ステップ 3.2.7.1

$\frac{1}{x + 1}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.2.7.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 3.2.7.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 3.2.7.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (1 + 0))$

ステップ 3.2.7.5

1つの分数にまとめます。

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ステップ 3.2.7.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} \cdot 1)$

ステップ 3.2.7.5.2

簡約します。

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ステップ 3.2.7.5.2.1

$\frac{4}{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1})$

ステップ 3.2.7.5.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4}{x + 1})$

ステップ 3.2.7.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 1 + 4}{x + 1})$

ステップ 3.2.7.5.4

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 5}{x + 1})$

ステップ 3.2.8

$\frac{3}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x + 5}{x + 1})$

ステップ 3.2.9

$\frac{x + 5}{x + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x + 5}{x + 1} \cdot \frac{x}{x})$

ステップ 3.2.10

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x (x + 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.2.10.1

$\frac{3}{x}$ に $\frac{x + 1}{x + 1}$ をかけます。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{x + 5}{x + 1} \cdot \frac{x}{x})$

ステップ 3.2.10.2

$\frac{x + 5}{x + 1}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{(x + 5) x}{(x + 1) x})$

ステップ 3.2.10.3

$(x + 1) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{(x + 5) x}{x (x + 1)})$

ステップ 3.2.11

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} \cdot \frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{x (x + 1)}$

ステップ 3.2.12

$\frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)}$ に $\frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{x (x + 1)}$ をかけます。

$\frac{x'}{x} = \frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) (x (x + 1))}$

ステップ 3.2.13

簡約します。

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ステップ 3.2.13.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + (x + 5) x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) x (x + 1)}$

ステップ 3.2.13.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + x \cdot x + 5 x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) x (x + 1)}$

ステップ 3.2.13.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + x \cdot x + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

ステップ 3.2.13.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.13.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.13.4.1.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 + x \cdot x + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

ステップ 3.2.13.4.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 + x^{2} + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

ステップ 3.2.13.4.2

$3 x$ と $5 x$ をたし算します。

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

ステップ 3.2.13.5

項をまとめます。

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ステップ 3.2.13.5.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1} x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

ステップ 3.2.13.5.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1} x^{1} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

ステップ 3.2.13.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1 + 1} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

ステップ 3.2.13.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

ステップ 3.2.13.6

項を並べ替えます。

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x)}$

ステップ 3.2.13.7

$x$ を $x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.13.7.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x)}$

ステップ 3.2.13.7.2

$x$ を $3 \ln (x) x$ で因数分解します。

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + x (3 \ln (x)) + 4 \ln (x + 1) x)}$

ステップ 3.2.13.7.3

$x$ を $4 \ln (x + 1) x$ で因数分解します。

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + x (3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1)))}$

ステップ 3.2.13.7.4

$x$ を $x \cdot x + x (3 \ln (x))$ で因数分解します。

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x (x + 3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1)))}$

ステップ 3.2.13.7.5

$x$ を $x (x + 3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1))$ で因数分解します。

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)))}$

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$

ステップ 3.2.13.8

$\frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$

ステップ 4

$x'$ を取り出し、右側の $x$ に元の関数を代入します。

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

ステップ 5

右側を簡約します。

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ステップ 5.1

分母を簡約します。

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ステップ 5.1.1

指数をまとめます。

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ステップ 5.1.1.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (x)$ を簡約します。

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3}) + 4 \ln (x + 1))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

ステップ 5.1.1.2

対数の中の $4$ を移動させて $4 \ln (x + 1)$ を簡約します。

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

ステップ 5.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

ステップ 5.2

$\frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$ と $\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$ をまとめます。

$x' = \frac{(x^{2} + 8 x + 3) \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$

ステップ 5.3

$\frac{(x^{2} + 8 x + 3) \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$ の因数を並べ替えます。

$x' = \frac{\ln (x^{3} e^{x} {(x + 1)}^{4}) (x^{2} + 8 x + 3)}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$

微分積分 例

微分積分例