微分積分例

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 8 x^{3} - 32 x^{2} - 5$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $- \frac{1}{2} x^{4} + 8 x^{3} - 32 x^{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{2} x^{4}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.2.4

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.2.5

$\frac{- 4}{2}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.2.6

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$2$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.2.6.2.4

$- 2 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 2 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.3.3

$3$ に $8$ をかけます。

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 32 x^{2}$ の微分係数は $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 32 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 32 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.4.3

$2$ に $- 32$ をかけます。

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 0$

ステップ 1.5.2

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$ と $0$ をたし算します。

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{3}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x^{2}$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $24$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 64 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 64$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 64 x$ の微分係数は $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 48 x - 64 \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 48 x - 64 \cdot 1$

ステップ 2.4.3

$- 64$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 48 x - 64$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{2} x^{4}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 4.1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 4.1.2.4

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 4.1.2.5

$\frac{- 4}{2}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 4.1.2.6

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$2$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 4.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 4.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 4.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 4.1.2.6.2.4

$- 2 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 2 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 4.1.3.3

$3$ に $8$ をかけます。

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 32 x^{2}$ の微分係数は $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 32 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 32 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 4.1.4.3

$2$ に $- 32$ をかけます。

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 4.1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 0$

ステップ 4.1.5.2

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$ です。

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$- 2 x$ を $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 2 x$ を $- 2 x^{3}$ で因数分解します。

$- 2 x \cdot x^{2} + 24 x^{2} - 64 x = 0$

ステップ 5.2.1.2

$- 2 x$ を $24 x^{2}$ で因数分解します。

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 12 x) - 64 x = 0$

ステップ 5.2.1.3

$- 2 x$ を $- 64 x$ で因数分解します。

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot 32 = 0$

ステップ 5.2.1.4

$- 2 x$ を $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 12 x)$ で因数分解します。

$- 2 x (x^{2} - 12 x) - 2 x \cdot 32 = 0$

ステップ 5.2.1.5

$- 2 x$ を $- 2 x (x^{2} - 12 x) - 2 x (32)$ で因数分解します。

$- 2 x (x^{2} - 12 x + 32) = 0$

ステップ 5.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 12 x + 32$ を因数分解します。

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ステップ 5.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $32$ で、その和が $- 12$ です。

$- 8, - 4$

ステップ 5.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 2 x ((x - 8) (x - 4)) = 0$

ステップ 5.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- 2 x (x - 8) (x - 4) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 8 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.5

$x - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$x - 8 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 5.6

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 5.6.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 5.7

最終解は $- 2 x (x - 8) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 8, 4$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, 8, 4$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 6 {(0)}^{2} + 48 (0) - 64$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 6 \cdot 0 + 48 (0) - 64$

ステップ 9.1.2

$- 6$ に $0$ をかけます。

$0 + 48 (0) - 64$

ステップ 9.1.3

$48$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 - 64$

ステップ 9.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - 64$

ステップ 9.2.2

$0$ から $64$ を引きます。

$- 64$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} - 32 {(0)}^{2} - 5$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = - \frac{1}{2} \cdot 0 + 8 {(0)}^{3} - 32 {(0)}^{2} - 5$

ステップ 11.2.1.2

$- \frac{1}{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$f (0) = 0 (\frac{1}{2}) + 8 {(0)}^{3} - 32 {(0)}^{2} - 5$

ステップ 11.2.1.2.2

$0$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3} - 32 {(0)}^{2} - 5$

ステップ 11.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0 - 32 {(0)}^{2} - 5$

ステップ 11.2.1.4

$8$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 - 32 {(0)}^{2} - 5$

ステップ 11.2.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 - 32 \cdot 0 - 5$

ステップ 11.2.1.6

$- 32$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 5$

ステップ 11.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 0 - 5$

ステップ 11.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 - 5$

ステップ 11.2.2.3

$0$ から $5$ を引きます。

$f (0) = - 5$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $- 5$ です。

$y = - 5$

ステップ 12

$x = 8$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 6 {(8)}^{2} + 48 (8) - 64$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$- 6 \cdot 64 + 48 (8) - 64$

ステップ 13.1.2

$- 6$ に $64$ をかけます。

$- 384 + 48 (8) - 64$

ステップ 13.1.3

$48$ に $8$ をかけます。

$- 384 + 384 - 64$

ステップ 13.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$- 384$ と $384$ をたし算します。

$0 - 64$

ステップ 13.2.2

$0$ から $64$ を引きます。

$- 64$

ステップ 14

$x = 8$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 8$ は極大値です

ステップ 15

$x = 8$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f (8) = - \frac{1}{2} \cdot {(8)}^{4} + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$8$ を $4$ 乗します。

$f (8) = - \frac{1}{2} \cdot 4096 + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

ステップ 15.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.2.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (8) = \frac{- 1}{2} \cdot 4096 + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

ステップ 15.2.1.2.2

$2$ を $4096$ で因数分解します。

$f (8) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2048)) + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

ステップ 15.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$f (8) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2048) + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

ステップ 15.2.1.2.4

式を書き換えます。

$f (8) = - 1 \cdot 2048 + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

ステップ 15.2.1.3

$- 1$ に $2048$ をかけます。

$f (8) = - 2048 + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

ステップ 15.2.1.4

指数を足して $8$ に ${(8)}^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.4.1

$8$ に ${(8)}^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.4.1.1

$8$ を $1$ 乗します。

$f (8) = - 2048 + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

ステップ 15.2.1.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (8) = - 2048 + 8^{1 + 3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

ステップ 15.2.1.4.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$f (8) = - 2048 + 8^{4} - 32 {(8)}^{2} - 5$

ステップ 15.2.1.5

$8$ を $4$ 乗します。

$f (8) = - 2048 + 4096 - 32 {(8)}^{2} - 5$

ステップ 15.2.1.6

$8$ を $2$ 乗します。

$f (8) = - 2048 + 4096 - 32 \cdot 64 - 5$

ステップ 15.2.1.7

$- 32$ に $64$ をかけます。

$f (8) = - 2048 + 4096 - 2048 - 5$

ステップ 15.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$- 2048$ と $4096$ をたし算します。

$f (8) = 2048 - 2048 - 5$

ステップ 15.2.2.2

$2048$ から $2048$ を引きます。

$f (8) = 0 - 5$

ステップ 15.2.2.3

$0$ から $5$ を引きます。

$f (8) = - 5$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $- 5$ です。

$y = - 5$

ステップ 16

$x = 4$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 6 {(4)}^{2} + 48 (4) - 64$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$- 6 \cdot 16 + 48 (4) - 64$

ステップ 17.1.2

$- 6$ に $16$ をかけます。

$- 96 + 48 (4) - 64$

ステップ 17.1.3

$48$ に $4$ をかけます。

$- 96 + 192 - 64$

ステップ 17.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

$- 96$ と $192$ をたし算します。

$96 - 64$

ステップ 17.2.2

$96$ から $64$ を引きます。

$32$

ステップ 18

$x = 4$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 4$ は極小値です

ステップ 19

$x = 4$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = - \frac{1}{2} \cdot {(4)}^{4} + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

$4$ を $4$ 乗します。

$f (4) = - \frac{1}{2} \cdot 256 + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

ステップ 19.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.2.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (4) = \frac{- 1}{2} \cdot 256 + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

ステップ 19.2.1.2.2

$2$ を $256$ で因数分解します。

$f (4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (128)) + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

ステップ 19.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$f (4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 128) + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

ステップ 19.2.1.2.4

式を書き換えます。

$f (4) = - 1 \cdot 128 + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

ステップ 19.2.1.3

$- 1$ に $128$ をかけます。

$f (4) = - 128 + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

ステップ 19.2.1.4

$4$ を $3$ 乗します。

$f (4) = - 128 + 8 \cdot 64 - 32 {(4)}^{2} - 5$

ステップ 19.2.1.5

$8$ に $64$ をかけます。

$f (4) = - 128 + 512 - 32 {(4)}^{2} - 5$

ステップ 19.2.1.6

$4$ を $2$ 乗します。

$f (4) = - 128 + 512 - 32 \cdot 16 - 5$

ステップ 19.2.1.7

$- 32$ に $16$ をかけます。

$f (4) = - 128 + 512 - 512 - 5$

ステップ 19.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.2.1

$- 128$ と $512$ をたし算します。

$f (4) = 384 - 512 - 5$

ステップ 19.2.2.2

$384$ から $512$ を引きます。

$f (4) = - 128 - 5$

ステップ 19.2.2.3

$- 128$ から $5$ を引きます。

$f (4) = - 133$

ステップ 19.2.3

最終的な答えは $- 133$ です。

$y = - 133$

ステップ 20

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 8 x^{3} - 32 x^{2} - 5$ の極値です。

$(0, - 5)$ は極大値です

$(8, - 5)$ は極大値です

$(4, - 133)$ は極小値です

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例