微分積分例

${(x + x y + y)}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x + x y + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + x y + y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + x y + y]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + x y + y]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x + x y + y$ で置き換えます。

$3 {(x + x y + y)}^{2} \frac{d}{d x} [x + x y + y]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x + x y + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$3 {(x + x y + y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.5

$y$ に $1$ をかけます。

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.6

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y + 0)$

ステップ 2.7

$1 + y$ と $0$ をたし算します。

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$3 {(x + x y + y)}^{2} \cdot 1 + 3 {(x + x y + y)}^{2} y$

ステップ 3.2

$3$ に $1$ をかけます。

$3 {(x + x y + y)}^{2} + 3 {(x + x y + y)}^{2} y$

ステップ 3.3

項を並べ替えます。

$3 {(x + x y + y)}^{2} + 3 y {(x + x y + y)}^{2}$

微分積分 例

微分積分例