微分積分例

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x \ln (x^{2})} d x$

ステップ 1

$\frac{1}{x \ln (x^{2})}$ を $\frac{1}{x (2 \ln (x))}$ に書き換えます。

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x (2 \ln (x))} d x$

ステップ 2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

ステップ 3

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 3.2

$u = \ln (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \ln (4)$

ステップ 3.3

$u = \ln (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \ln (8)$

ステップ 3.4

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (8)$

ステップ 3.5

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int_{\ln (4)}^{\ln (8)} \frac{1}{u} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{\ln (4)}^{\ln (8)}$

ステップ 5

$\ln (8)$ および $\ln (4)$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (\ln (| \ln (8) |) - \ln (| \ln (4) |))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2}$ と $\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$ をまとめます。

$\frac{\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})}{2}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\ln (8)$ は約 $2.07944154$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{| \ln (4) |})}{2}$

ステップ 7.2

$\ln (4)$ は約 $1.38629436$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{\ln (4)})}{2}$

ステップ 7.3

$\ln (8)$ を $\ln (2^{3})$ に書き換えます。

$\frac{\ln (\frac{\ln (2^{3})}{\ln (4)})}{2}$

ステップ 7.4

$3$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{3})$ を展開します。

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (4)})}{2}$

ステップ 7.5

$\ln (4)$ を $\ln (2^{2})$ に書き換えます。

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (2^{2})})}{2}$

ステップ 7.6

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{2})$ を展開します。

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

ステップ 7.7

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

ステップ 7.7.2

式を書き換えます。

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

10進法形式：

$0.20273255 \dots$

微分積分 例

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