微分積分例

$\frac{1 + x + y}{\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}$ を ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d y} [\frac{1 + x + y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2

$f (y) = 1 + x + y$ および $g (y) = {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3

${({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{1}}$

ステップ 4

簡約します。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

総和則では、 $1 + x + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3

$0$ と $\frac{d}{d y} [x]$ をたし算します。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.4

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.5

$0$ と $\frac{d}{d y} [y]$ をたし算します。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.7

${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 6

$f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ および $g (y) = 1 + x^{2} + y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 + x^{2} + y^{2}$ とします。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 6.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + x^{2} + y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 11

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 12

総和則では、 $1 + x^{2} + y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 13

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 14

$0$ と $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 15

$x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 16

$0$ と $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ をたし算します。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 17

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 y))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 18

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

$2$ と $\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{2}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y)}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 18.2

$\frac{2}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{2 y}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 18.3

共通因数を約分します。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{2 y}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 18.4

式を書き換えます。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 19

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

分配則を当てはめます。

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot 1 - x - y) \frac{y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 19.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

$u_{2} = {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ とします。 $u_{2}$ を ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

$u_{2}$ に $u_{2}$ をかけます。

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} + (- 1 - x - y) y}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 19.2.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - 1 y - x y - y \cdot y}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 19.2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.3.1

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - y - x y - y \cdot y}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 19.2.1.3.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.3.2.1

$y$ を移動させます。

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - y - x y - (y \cdot y)}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 19.2.1.3.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - y - x y - y^{2}}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 19.2.2

$u_{2}$ のすべての発生を ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{\frac{{({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 19.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.3.1.1

${({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.3.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 19.2.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 19.2.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{1} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 19.2.3.1.2

簡約します。

$\frac{\frac{1 + x^{2} + y^{2} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 19.2.3.2

$1 + x^{2} + y^{2} - y - x y - y^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.3.2.1

$y^{2}$ から $y^{2}$ を引きます。

$\frac{\frac{1 + x^{2} - y - x y + 0}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 19.2.3.2.2

$1 + x^{2} - y - x y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 19.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.1

$\frac{\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$ を積として書き換えます。

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}}$

ステップ 19.3.2

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}}$ をかけます。

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2} + y^{2})}$

ステップ 19.3.3

指数を足して ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1 + x^{2} + y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.3.1

${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1 + x^{2} + y^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.3.1.1

$1 + x^{2} + y^{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{1}}$

ステップ 19.3.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 19.3.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 19.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 19.3.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 19.4

項を並べ替えます。

$\frac{x^{2} - x y - y + 1}{{(x^{2} + y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例