微分積分例

$y = \frac{- 3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ , $(0, - 3)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = - 3$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

ステップ 1.1.2

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

ステップ 1.1.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1.3.1

$\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ を ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 3 \frac{d}{d x} [{({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}]$

ステップ 1.1.3.2

${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

ステップ 1.1.3.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{- 3}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{- 3}$ および $g (x) = 3 x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x^{2} + 1$ とします。

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

ステップ 1.2.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x^{2} + 1$ で置き換えます。

$- 3 (- 3 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$9 ({(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $3 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.3.5

$2$ に $3$ をかけます。

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.3.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + 0)$

ステップ 1.3.7

式を簡約します。

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ステップ 1.3.7.1

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x)$

ステップ 1.3.7.2

$6$ に $9$ をかけます。

$54 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} x$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$54 \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

ステップ 1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.4.2.1

$54$ と $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ をまとめます。

$\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

ステップ 1.4.2.2

$\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{54 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.5

$x = 0$ で微分係数を求めます。

$\frac{54 (0)}{{(3 {(0)}^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

$54$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{{(3 \cdot 0^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 1.6.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.6.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{{(3 \cdot 0 + 1)}^{4}}$

ステップ 1.6.2.2

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{{(0 + 1)}^{4}}$

ステップ 1.6.2.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{1^{4}}$

ステップ 1.6.2.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{1}$

ステップ 1.6.3

$0$ を $1$ で割ります。

$0$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $0$ と与えられた点 $(0, - 3)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 3) = 0 \cdot (x - (0))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 3 = 0 \cdot (x + 0)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$0 \cdot (x + 0)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$y + 3 = 0 \cdot x$

ステップ 2.3.1.2

$0$ に $x$ をかけます。

$y + 3 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$y = - 3$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例