微分積分例

$f (r) = \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}}$

ステップ 1

関数 $F (r)$ は、微分係数 $f (r)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (r) = \int f (r) d r$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (r) = \int \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{3}{1 + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

ステップ 4

$3$ は $r$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int \frac{1}{1 + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

ステップ 5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$3 \int \frac{1}{1^{2} + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

ステップ 6

$\frac{1}{1^{2} + r^{2}}$ の $r$ に関する積分は $\arctan (r) + C$ です。

$3 (\arctan (r) + C) + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

ステップ 7

$- 1$ は $r$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$3 (\arctan (r) + C) - \int \sqrt[5]{r^{4}} d r$

ステップ 8

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{r^{4}}$ を $r^{\frac{4}{5}}$ に書き換えます。

$3 (\arctan (r) + C) - \int r^{\frac{4}{5}} d r$

ステップ 9

べき乗則では、 $r^{\frac{4}{5}}$ の $r$ に関する積分は $\frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}}$ です。

$3 (\arctan (r) + C) - (\frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C)$

ステップ 10

簡約します。

$3 \arctan (r) - \frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (r) = \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}}$ の不定積分です。

$F (r) =$ $3 \arctan (r) - \frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C$

微分積分 例