微分積分例

$\int x {(2 x - 1)}^{7} d x$

ステップ 1

この積分は部分積分を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

$u = 2 x - 1$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 2 x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$2 x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 2.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) u^{7} \frac{1}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ と $u^{7}$ をまとめます。

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{u^{7}}{2} d u$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

ステップ 4.2

$\frac{u}{2}$ に $\frac{u^{7}}{2}$ をかけます。

$\int \frac{u \cdot u^{7}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

ステップ 4.3

$u$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{u^{1} u^{7}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

ステップ 4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{u^{1 + 7}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

ステップ 4.5

$1$ と $7$ をたし算します。

$\int \frac{u^{8}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

ステップ 4.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\int \frac{u^{8}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

ステップ 4.7

$\frac{1}{2}$ に $\frac{u^{7}}{2}$ をかけます。

$\int \frac{u^{8}}{4} + \frac{u^{7}}{2 \cdot 2} d u$

ステップ 4.8

$2$ に $2$ をかけます。

$\int \frac{u^{8}}{4} + \frac{u^{7}}{4} d u$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{u^{8}}{4} d u + \int \frac{u^{7}}{4} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int u^{8} d u + \int \frac{u^{7}}{4} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{8}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{9} u^{9}$ です。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \int \frac{u^{7}}{4} d u$

ステップ 8

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \frac{1}{4} \int u^{7} d u$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{7}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{8} u^{8}$ です。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{9} u^{9} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{9}$ をかけます。

$\frac{1}{4 \cdot 9} u^{9} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

ステップ 10.2.2

$4$ に $9$ をかけます。

$\frac{1}{36} u^{9} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

ステップ 10.2.3

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$\frac{1}{36} u^{9} + \frac{1}{4 \cdot 8} u^{8} + C$

ステップ 10.2.4

$4$ に $8$ をかけます。

$\frac{1}{36} u^{9} + \frac{1}{32} u^{8} + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $2 x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{36} {(2 x - 1)}^{9} + \frac{1}{32} {(2 x - 1)}^{8} + C$

微分積分 例

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