微分積分例

$\arccos (- \frac{x}{5})$

ステップ 1

$f (x) = \arccos (x)$ および $g (x) = - \frac{x}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{x}{5}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arccos (u)$ の微分係数は $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{x}{5}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(- \frac{x}{5})}^{2}}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$- 1$ を $- \frac{x}{5}$ で因数分解します。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(- (\frac{x}{5}))}^{2}}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

ステップ 2.2

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1

積の法則を $- (\frac{x}{5})$ に当てはめます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{x}{5})}^{2})}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

ステップ 2.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 {(\frac{x}{5})}^{2})}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

ステップ 2.2.3

${(\frac{x}{5})}^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

ステップ 2.3

$- \frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x}{5}$ の微分係数は $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}} (- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4

分数をまとめます。

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ステップ 2.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4.2

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4.3

$\frac{1}{5}$ に $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}} \cdot 1$

ステップ 2.6

$\frac{1}{5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

積の法則を $\frac{x}{5}$ に当てはめます。

$\frac{1}{5 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{5^{2}}}}$

ステップ 3.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{5 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{25}}}$

微分積分 例

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