微分積分例

$lim_{x \to 4} \frac{- 5 x^{2} + 21 x - 4}{24 - 6 x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 4} - 5 x^{2} + 21 x - 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- lim_{x \to 4} 5 x^{2} + lim_{x \to 4} 21 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

ステップ 1.1.2.2

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- 5 lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 21 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

ステップ 1.1.2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{- 5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 21 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

ステップ 1.1.2.4

$21$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- 5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 21 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

ステップ 1.1.2.5

$x$ が $4$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{- 5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 21 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

ステップ 1.1.2.6

すべての $x$ に $4$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 5 \cdot 4^{2} + 21 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

ステップ 1.1.2.6.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 5 \cdot 4^{2} + 21 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

ステップ 1.1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 5 \cdot 16 + 21 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

ステップ 1.1.2.7.1.2

$- 5$ に $16$ をかけます。

$\frac{- 80 + 21 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

ステップ 1.1.2.7.1.3

$21$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 80 + 84 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

ステップ 1.1.2.7.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 80 + 84 - 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

ステップ 1.1.2.7.2

$- 80$ と $84$ をたし算します。

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

ステップ 1.1.2.7.3

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 24 - lim_{x \to 4} 6 x}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $4$ に近づくと定数である $24$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{24 - lim_{x \to 4} 6 x}$

ステップ 1.1.3.1.3

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{24 - 6 lim_{x \to 4} x}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{24 - 6 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$- 6$ に $4$ をかけます。

$\frac{0}{24 - 24}$

ステップ 1.1.3.3.2

$24$ から $24$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 4} \frac{- 5 x^{2} + 21 x - 4}{24 - 6 x} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 21 x - 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 21 x - 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $- 5 x^{2} + 21 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

ステップ 1.3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [21 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

ステップ 1.3.3.3

$2$ に $- 5$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + \frac{d}{d x} [21 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [21 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$21$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $21 x$ の微分係数は $21 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

ステップ 1.3.4.3

$21$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

ステップ 1.3.5

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21 + 0}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

ステップ 1.3.6

$- 10 x + 21$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $24 - 6 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 6 x]}$

ステップ 1.3.8

$24$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $24$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]}$

ステップ 1.3.9

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.9.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{0 - 6 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.9.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{0 - 6 \cdot 1}$

ステップ 1.3.9.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{0 - 6}$

ステップ 1.3.10

$0$ から $6$ を引きます。

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{- 6}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{- 6}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 6} lim_{x \to 4} - 10 x + 21$

ステップ 2.2

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{- 6} (- lim_{x \to 4} 10 x + lim_{x \to 4} 21)$

ステップ 2.3

$10$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 6} (- 10 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 21)$

ステップ 2.4

$x$ が $4$ に近づくと定数である $21$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 6} (- 10 lim_{x \to 4} x + 21)$

ステップ 3

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 6} (- 10 \cdot 4 + 21)$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{6} (- 10 \cdot 4 + 21)$

ステップ 4.2

$- 10$ に $4$ をかけます。

$- \frac{1}{6} (- 40 + 21)$

ステップ 4.3

$- 40$ と $21$ をたし算します。

$- \frac{1}{6} \cdot - 19$

ステップ 4.4

$- \frac{1}{6} \cdot - 19$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$- 19$ に $- 1$ をかけます。

$19 (\frac{1}{6})$

ステップ 4.4.2

$19$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\frac{19}{6}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{19}{6}$

10進法形式：

$3.1\overline{6}$

微分積分 例

微分積分例