微分積分例

$y = arcsec (\sqrt{3 x^{3}})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 x^{3}}$ を ${(3 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = arcsec ({(3 x^{3})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (arcsec ({(3 x^{3})}^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.1.1

$3$ を $3 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [arcsec ({(3 (x^{3}))}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 4.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1.2.1

積の法則を $3 (x^{3})$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} {(x^{3})}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 4.1.2.2

${(x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} x^{3 (\frac{1}{2})})]$

ステップ 4.1.2.2.2

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})]$

ステップ 4.2

$f (x) = arcsec (x)$ および $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.2.2

$u$ に関する $arcsec (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ です。

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ で置き換えます。

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ステップ 4.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{3 (\frac{1}{2})})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.2.3.2

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.3

微分します。

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ステップ 4.3.1

$3^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ です。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

ステップ 4.3.2

項を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$3^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$ をまとめます。

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.3.3

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

ステップ 4.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 4.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 4.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 4.7

分子を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

ステップ 4.7.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 4.8

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 4.9

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$ に $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1} \cdot 2}$

ステップ 4.10

式を簡約します。

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ステップ 4.10.1

$2$ を $x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}$ の左に移動させます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot (x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1})}$

ステップ 4.10.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1} x^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 4.11

分母を簡約します。

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ステップ 4.11.1

指数を足して $x^{\frac{3}{2}}$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.11.1.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{3}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

ステップ 4.11.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

ステップ 4.11.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{2 x^{\frac{- 1 + 3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

ステップ 4.11.1.4

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{3}{2 x^{\frac{2}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

ステップ 4.11.1.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{3}{2 x^{1} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

ステップ 4.11.2

$2 x^{1} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}$ を簡約します。

$\frac{3}{2 x \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

ステップ 4.12

簡約します。

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ステップ 4.12.1

積の法則を $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ に当てはめます。

$\frac{3}{2 x \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

ステップ 4.12.2

項をまとめます。

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ステップ 4.12.2.1

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.12.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

ステップ 4.12.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

ステップ 4.12.2.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{1} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

ステップ 4.12.2.2

指数を求めます。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

ステップ 4.12.2.3

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} - 1}}$

ステップ 4.12.2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} - 1}}$

ステップ 4.12.2.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$

ステップ 4.12.3

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$ に $\frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$ をかけます。

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}} \cdot \frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$

ステップ 4.12.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.12.4.1

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$ に $\frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$ をかけます。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1} \sqrt{3 x^{3} - 1}}$

ステップ 4.12.4.2

$\sqrt{3 x^{3} - 1}$ を移動させます。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (\sqrt{3 x^{3} - 1} \sqrt{3 x^{3} - 1})}$

ステップ 4.12.4.3

$\sqrt{3 x^{3} - 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x ({\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1} \sqrt{3 x^{3} - 1})}$

ステップ 4.12.4.4

$\sqrt{3 x^{3} - 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x ({\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1} {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1})}$

ステップ 4.12.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.12.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{2}}$

ステップ 4.12.4.7

${\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{2}$ を $3 x^{3} - 1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.4.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ を ${(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {({(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.12.4.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.12.4.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.12.4.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.4.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.12.4.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{1}}$

ステップ 4.12.4.7.5

簡約します。

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (3 x^{3} - 1)}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (3 x^{3} - 1)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (3 x^{3} - 1)}$

微分積分 例

微分積分例