微分積分例

$- y + y^{2} - 4 y^{3} + x^{2} = 0$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (- y + y^{2} - 4 y^{3} + x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- y + y^{2} - 4 y^{3} + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$- \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- y' + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$- y' + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- y' + 2 u_{1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- y' + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- y' + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 y^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$- y' + 2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.4.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$- y' + 2 y y' - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.4.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- y' + 2 y y' - 4 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- y' + 2 y y' - 4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.4.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- y' + 2 y y' - 4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.4.4

$3$ に $- 4$ をかけます。

$- y' + 2 y y' - 12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.5.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- y' + 2 y y' - 12 y^{2} y' + 2 x$

ステップ 2.5.2

項を並べ替えます。

$2 y y' - 12 y^{2} y' + 2 x - y'$

ステップ 3

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' - 12 y^{2} y' + 2 x - y' = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$2 y y' - 12 y^{2} y' - y' = - 2 x$

ステップ 5.2

$y'$ を $2 y y' - 12 y^{2} y' - y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y'$ を $2 y y'$ で因数分解します。

$y' (2 y) - 12 y^{2} y' - y' = - 2 x$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $- 12 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y' (2 y) + y' (- 12 y^{2}) - y' = - 2 x$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $- y'$ で因数分解します。

$y' (2 y) + y' (- 12 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 x$

ステップ 5.2.4

$y'$ を $y' (2 y) + y' (- 12 y^{2})$ で因数分解します。

$y' (2 y - 12 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 x$

ステップ 5.2.5

$y'$ を $y' (2 y - 12 y^{2}) + y' \cdot - 1$ で因数分解します。

$y' (2 y - 12 y^{2} - 1) = - 2 x$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$y' (- 12 y^{2} + 2 y - 1) = - 2 x$

ステップ 5.4

$y' (- 12 y^{2} + 2 y - 1) = - 2 x$ の各項を $- 12 y^{2} + 2 y - 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$y' (- 12 y^{2} + 2 y - 1) = - 2 x$ の各項を $- 12 y^{2} + 2 y - 1$ で割ります。

$\frac{y' (- 12 y^{2} + 2 y - 1)}{- 12 y^{2} + 2 y - 1} = \frac{- 2 x}{- 12 y^{2} + 2 y - 1}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$- 12 y^{2} + 2 y - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- 12 y^{2} + 2 y - 1)}{- 12 y^{2} + 2 y - 1} = \frac{- 2 x}{- 12 y^{2} + 2 y - 1}$

ステップ 5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x}{- 12 y^{2} + 2 y - 1}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{2 x}{- 12 y^{2} + 2 y - 1}$

ステップ 5.4.3.2

$- 1$ を $- 12 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = - \frac{2 x}{- (12 y^{2}) + 2 y - 1}$

ステップ 5.4.3.3

$- 1$ を $2 y$ で因数分解します。

$y' = - \frac{2 x}{- (12 y^{2}) - (- 2 y) - 1}$

ステップ 5.4.3.4

$- 1$ を $- (12 y^{2}) - (- 2 y)$ で因数分解します。

$y' = - \frac{2 x}{- (12 y^{2} - 2 y) - 1}$

ステップ 5.4.3.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$y' = - \frac{2 x}{- (12 y^{2} - 2 y) - 1 (1)}$

ステップ 5.4.3.6

$- 1$ を $- (12 y^{2} - 2 y) - 1 (1)$ で因数分解します。

$y' = - \frac{2 x}{- (12 y^{2} - 2 y + 1)}$

ステップ 5.4.3.7

式を簡約します。

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ステップ 5.4.3.7.1

$- (12 y^{2} - 2 y + 1)$ を $- 1 (12 y^{2} - 2 y + 1)$ に書き換えます。

$y' = - \frac{2 x}{- 1 (12 y^{2} - 2 y + 1)}$

ステップ 5.4.3.7.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - - \frac{2 x}{12 y^{2} - 2 y + 1}$

ステップ 5.4.3.7.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y' = 1 \frac{2 x}{12 y^{2} - 2 y + 1}$

ステップ 5.4.3.7.4

$\frac{2 x}{12 y^{2} - 2 y + 1}$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{2 x}{12 y^{2} - 2 y + 1}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{12 y^{2} - 2 y + 1}$

微分積分 例

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