微分積分例

$5 x (\sqrt{x} - x^{2})$

ステップ 1

$5 x (\sqrt{x} - x^{2})$ を関数で書きます。

$f (x) = 5 x (\sqrt{x} - x^{2})$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 5 x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

ステップ 4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

ステップ 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$5 \int x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2}) d x$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x (- x^{2}) d x$

ステップ 6.2

$x$ と $- 1$ を並べ替えます。

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot x \cdot x^{2} d x$

ステップ 6.3

$x$ を $1$ 乗します。

$5 \int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

ステップ 6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 \int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

ステップ 6.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$5 \int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

ステップ 6.6

公分母の分子をまとめます。

$5 \int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

ステップ 6.7

$2$ と $1$ をたし算します。

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

ステップ 6.8

負をくくり出します。

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x \cdot x^{2}) d x$

ステップ 6.9

$x$ を $1$ 乗します。

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x^{1} x^{2}) d x$

ステップ 6.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{1 + 2} d x$

ステップ 6.11

$1$ と $2$ をたし算します。

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{3} d x$

ステップ 6.12

$x^{\frac{3}{2}}$ と $- x^{3}$ を並べ替えます。

$5 \int - x^{3} + x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$5 (\int - x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$5 (- \int x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ です。

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

簡約します。

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ステップ 11.1.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

ステップ 11.1.2

$\frac{2}{5}$ と $x^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

ステップ 11.2

簡約します。

$5 (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = 5 x (\sqrt{x} - x^{2})$ の不定積分です。

$F (x) =$ $5 (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

微分積分 例

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