微分積分例

$\int_{0}^{5} {(x - 2)}^{2} + 1 d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{5} {(x - 2)}^{2} d x + \int_{0}^{5} d x$

ステップ 2

$u = x - 2$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = x - 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2

$u = x - 2$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 - 2$

ステップ 2.3

$0$ から $2$ を引きます。

$u_{lower} = - 2$

ステップ 2.4

$u = x - 2$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 5 - 2$

ステップ 2.5

$5$ から $2$ を引きます。

$u_{upper} = 3$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = 3$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{- 2}^{3} u^{2} d u + \int_{0}^{5} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 2}^{3} + \int_{0}^{5} d x$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 2}^{3} + x]_{0}^{5}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$3$ および $- 2$ で $\frac{1}{3} u^{3}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + x]_{0}^{5}$

ステップ 5.2

$5$ および $0$ で $x$ の値を求めます。

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{3}$ と $27$ をまとめます。

$\frac{27}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

ステップ 5.3.3

$27$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

ステップ 5.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

ステップ 5.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

ステップ 5.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{9}{1} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

ステップ 5.3.3.2.4

$9$ を $1$ で割ります。

$9 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

ステップ 5.3.4

$- 2$ を $3$ 乗します。

$9 - \frac{1}{3} \cdot - 8 + (5) + 0$

ステップ 5.3.5

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$9 + 8 (\frac{1}{3}) + (5) + 0$

ステップ 5.3.6

$8$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$9 + \frac{8}{3} + (5) + 0$

ステップ 5.3.7

$9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} + (5) + 0$

ステップ 5.3.8

$9$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} + (5) + 0$

ステップ 5.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{9 \cdot 3 + 8}{3} + (5) + 0$

ステップ 5.3.10

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.10.1

$9$ に $3$ をかけます。

$\frac{27 + 8}{3} + (5) + 0$

ステップ 5.3.10.2

$27$ と $8$ をたし算します。

$\frac{35}{3} + (5) + 0$

ステップ 5.3.11

$5$ と $0$ をたし算します。

$\frac{35}{3} + 5$

ステップ 5.3.12

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{35}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 5.3.13

$5$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{35}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

ステップ 5.3.14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{35 + 5 \cdot 3}{3}$

ステップ 5.3.15

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.15.1

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{35 + 15}{3}$

ステップ 5.3.15.2

$35$ と $15$ をたし算します。

$\frac{50}{3}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{50}{3}$

10進法形式：

$16.\overline{6}$

帯分数形：

$16 \frac{2}{3}$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例