微分積分例

$f (x) = \arctan (x^{2})$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + x^{4}} (2 x)$

ステップ 1.1.2.3

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$2$ と $\frac{1}{1 + x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{2}{1 + x^{4}} x$

ステップ 1.1.2.3.2

$\frac{2}{1 + x^{4}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

ステップ 1.1.2.3.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{4} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

微分します。

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ステップ 1.2.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.3.2

$x^{4} + 1$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.3.3

総和則では、 $x^{4} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.3.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.6.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.3.6.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.4.1

$x^{3}$ を移動させます。

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.2

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x^{1})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

$x^{4}$ から $4 x^{4}$ を引きます。

$2 \frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

$2$ と $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.7

簡約します。

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ステップ 1.2.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.7.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.7.2.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 6 x^{4} + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.7.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.7.3

$2$ を $- 6 x^{4} + 2$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.7.3.1

$2$ を $- 6 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.7.3.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.7.3.3

$2$ を $2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.7.4

$- 1$ を $- 3 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.7.5

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- (3 x^{4}) - 1 (- 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.7.6

$- 1$ を $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.7.7

$- (3 x^{4} - 1)$ を $- 1 (3 x^{4} - 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.7.8

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ です。

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.1.2.1.2

$3 x^{4} - 1$ を $1$ で割ります。

$3 x^{4} - 1 = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$3 x^{4} - 1 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x^{4} = 1$

ステップ 2.3.3

$3 x^{4} = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$3 x^{4} = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 2.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 2.3.3.2.1.2

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$x^{4} = \frac{1}{3}$

ステップ 2.3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.3.5

$\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ を $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

ステップ 2.3.5.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

ステップ 2.3.5.3

$\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ に $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

ステップ 2.3.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.4.1

$\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ に $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

ステップ 2.3.5.4.2

$\sqrt[4]{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

ステップ 2.3.5.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

ステップ 2.3.5.4.4

$1$ と $3$ をたし算します。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

ステップ 2.3.5.4.5

${\sqrt[4]{3}}^{4}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{3}$ を $3^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

ステップ 2.3.5.4.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

ステップ 2.3.5.4.5.3

$\frac{1}{4}$ と $4$ をまとめます。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

ステップ 2.3.5.4.5.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.4.5.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

ステップ 2.3.5.4.5.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

ステップ 2.3.5.4.5.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

ステップ 2.3.5.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.5.1

${\sqrt[4]{3}}^{3}$ を $\sqrt[4]{3^{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

ステップ 2.3.5.5.2

$3$ を $3$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

ステップ 2.3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

ステップ 2.3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

ステップ 2.3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ を $f (x) = \arctan (x^{2})$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

積の法則を $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}})$

ステップ 3.1.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

${\sqrt[4]{27}}^{2}$ を $\sqrt{27}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{27}$ を $27^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{2}}{3^{2}})$

ステップ 3.1.2.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{3^{2}})$

ステップ 3.1.2.2.1.3

$\frac{1}{4}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2}{4}}}{3^{2}})$

ステップ 3.1.2.2.1.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 (1)}{4}}}{3^{2}})$

ステップ 3.1.2.2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

ステップ 3.1.2.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

ステップ 3.1.2.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{2}}}{3^{2}})$

ステップ 3.1.2.2.1.5

$27^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{27}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{27}}{3^{2}})$

ステップ 3.1.2.2.2

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.2.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{2}})$

ステップ 3.1.2.2.2.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{2}})$

ステップ 3.1.2.2.3

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3^{2}})$

ステップ 3.1.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{9})$

ステップ 3.1.2.3.2

$3$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.2.1

$3$ を $3 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 (\sqrt{3})}{9})$

ステップ 3.1.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.2.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

ステップ 3.1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

ステップ 3.1.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 3.1.2.4

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{π}{6}$

ステップ 3.1.2.5

最終的な答えは $\frac{π}{6}$ です。

$\frac{π}{6}$

ステップ 3.2

$f (x) = \arctan (x^{2})$ で代入して $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 求めた点は、 $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

ステップ 3.3

$- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ を $f (x) = \arctan (x^{2})$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ で置換えます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

積の法則を $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

ステップ 3.3.2.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}))$

ステップ 3.3.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (1 (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}))$

ステップ 3.3.2.2.2

$\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}})$

ステップ 3.3.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

${\sqrt[4]{27}}^{2}$ を $\sqrt{27}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{27}$ を $27^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{2}}{3^{2}})$

ステップ 3.3.2.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{3^{2}})$

ステップ 3.3.2.3.1.3

$\frac{1}{4}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2}{4}}}{3^{2}})$

ステップ 3.3.2.3.1.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 (1)}{4}}}{3^{2}})$

ステップ 3.3.2.3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

ステップ 3.3.2.3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

ステップ 3.3.2.3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{2}}}{3^{2}})$

ステップ 3.3.2.3.1.5

$27^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{27}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{27}}{3^{2}})$

ステップ 3.3.2.3.2

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.2.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{2}})$

ステップ 3.3.2.3.2.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{2}})$

ステップ 3.3.2.3.3

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3^{2}})$

ステップ 3.3.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.4.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{9})$

ステップ 3.3.2.4.2

$3$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.4.2.1

$3$ を $3 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 (\sqrt{3})}{9})$

ステップ 3.3.2.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.4.2.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

ステップ 3.3.2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

ステップ 3.3.2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 3.3.2.5

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{π}{6}$

ステップ 3.3.2.6

最終的な答えは $\frac{π}{6}$ です。

$\frac{π}{6}$

ステップ 3.4

$f (x) = \arctan (x^{2})$ で代入して $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 求めた点は、 $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 0.85983568$ で置換えます。

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (3 {(- 0.85983568)}^{4} - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 0.85983568$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (3 \cdot 0.54659022 - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.2

$3$ に $0.54659022$ をかけます。

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (1.63977068 - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.3

$1.63977068$ から $1$ を引きます。

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 0.85983568$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{(0.54659022 + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

$0.54659022$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{1.54659022}^{2}}$

ステップ 5.2.2.3

$1.54659022$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{2.39194133}$

ステップ 5.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$2$ に $0.63977068$ をかけます。

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{1.27954136}{2.39194133}$

ステップ 5.2.3.2

$1.27954136$ を $2.39194133$ で割ります。

$f'' (- 0.85983568) = - 1 \cdot 0.53493843$

ステップ 5.2.3.3

$- 1$ に $0.53493843$ をかけます。

$f'' (- 0.85983568) = - 0.53493843$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $- 0.53493843$ です。

$- 0.53493843$

ステップ 5.3

$- 0.85983568$ で二次導関数は $- 0.53493843$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ で減少

ステップ 6

区間 $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = - \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3

$0$ から $1$ を引きます。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

ステップ 6.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (0) = - \frac{- 2}{1}$

ステップ 6.2.3.2

$- 2$ を $1$ で割ります。

$f'' (0) = 2$

ステップ 6.2.3.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (0) = 2$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 6.3

$0$ で二次導関数は $2$ です。これは正の値なので、 $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ で増加

ステップ 7

区間 $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.85983568$ で置換えます。

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (3 {(0.85983568)}^{4} - 1)}{{({(0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0.85983568$ を $4$ 乗します。

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (3 \cdot 0.54659022 - 1)}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$3$ に $0.54659022$ をかけます。

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (1.63977068 - 1)}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.3

$1.63977068$ から $1$ を引きます。

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$0.85983568$ を $4$ 乗します。

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{(0.54659022 + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$0.54659022$ と $1$ をたし算します。

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{1.54659022}^{2}}$

ステップ 7.2.2.3

$1.54659022$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{2.39194133}$

ステップ 7.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$2$ に $0.63977068$ をかけます。

$f'' (0.85983568) = - \frac{1.27954136}{2.39194133}$

ステップ 7.2.3.2

$1.27954136$ を $2.39194133$ で割ります。

$f'' (0.85983568) = - 1 \cdot 0.53493843$

ステップ 7.2.3.3

$- 1$ に $0.53493843$ をかけます。

$f'' (0.85983568) = - 0.53493843$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $- 0.53493843$ です。

$- 0.53493843$

ステップ 7.3

$0.85983568$ で二次導関数は $- 0.53493843$ です。これは負の値なので、 $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ で減少

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ です。

$(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例