微分積分例

$e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$

ステップ 1

$e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x}) d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\int e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- 3 e^{- 2 x}) d x$

ステップ 4.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{x} + e^{x} (- 3 e^{- 2 x}) d x$

ステップ 4.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\int e^{x} - 3 e^{x} e^{- 2 x} d x$

ステップ 4.4

指数を足して $e^{x}$ に $e^{- 2 x}$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1

$e^{- 2 x}$ を移動させます。

$\int e^{x} - 3 (e^{- 2 x} e^{x}) d x$

ステップ 4.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int e^{x} - 3 e^{- 2 x + x} d x$

ステップ 4.4.3

$- 2 x$ と $x$ をたし算します。

$\int e^{x} - 3 e^{- x} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int e^{x} d x + \int - 3 e^{- x} d x$

ステップ 6

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$e^{x} + C + \int - 3 e^{- x} d x$

ステップ 7

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$e^{x} + C - 3 \int e^{- x} d x$

ステップ 8

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 8.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 8.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{x} + C - 3 \int - e^{u} d u$

ステップ 9

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{x} + C - 3 (- \int e^{u} d u)$

ステップ 10

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$e^{x} + C + 3 \int e^{u} d u$

ステップ 11

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{x} + C + 3 (e^{u} + C)$

ステップ 12

簡約します。

$e^{x} + 3 e^{u} + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$e^{x} + 3 e^{- x} + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$ の不定積分です。

$F (x) =$ $e^{x} + 3 e^{- x} + C$

微分積分 例

微分積分例