微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (\frac{x}{4})}{x}$

ステップ 1

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{x}{4})}{x}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$4 \frac{lim_{x \to 0} \sin (\frac{x}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 2.1.2.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$4 \frac{\sin (lim_{x \to 0} \frac{x}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.2

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{\sin (\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{\sin (\frac{1}{4} \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1

$\frac{1}{4}$ に $0$ をかけます。

$4 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$4 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{x}{4})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{4})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{4})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{x}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{4}$ とします。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{4}$ で置き換えます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{x}{4}) \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{4}$ と $\cos (\frac{x}{4})$ をまとめます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.6

$\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}$ に $1$ をかけます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}}{1}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{x}{4})}{4} \cdot 1$

ステップ 2.5

$\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}$ に $1$ をかけます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \cos (\frac{x}{4})$

ステップ 3.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$4 (\frac{1}{4}) \cos (lim_{x \to 0} \frac{x}{4})$

ステップ 3.3

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{4}) \cos (\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x)$

ステップ 4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 (\frac{1}{4}) \cos (\frac{1}{4} \cdot 0)$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1

共通因数を約分します。

$4 (\frac{1}{4}) \cos (\frac{1}{4} \cdot 0)$

ステップ 5.1.2

式を書き換えます。

$1 \cos (\frac{1}{4} \cdot 0)$

ステップ 5.2

$\cos (\frac{1}{4} \cdot 0)$ に $1$ をかけます。

$\cos (\frac{1}{4} \cdot 0)$

ステップ 5.3

$\frac{1}{4}$ に $0$ をかけます。

$\cos (0)$

ステップ 5.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1$

微分積分 例

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