微分積分例

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x}$ を $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})}$

ステップ 1.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})$ を展開します。

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}$

ステップ 2

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}$

ステップ 3

$x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})$ を $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}}}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x$ です。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.3.1.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.3.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.3.2.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.3.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.3.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.3.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.5.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1 - 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 - 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.7.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.7.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.7.3

$1$ を $1$ で割ります。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.2.7.4

$1$ の自然対数は $0$ です。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.1.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 4.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 4.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x - 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x - 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x + 1}{x - 1}$ とします。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x + 1}{x - 1}$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{x + 1}{x - 1}$ で割ります。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.4

$\frac{x - 1}{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.5

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.6

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.10

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.11

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.13

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.14

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.15

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.16

$\frac{x - 1}{x + 1}$ に $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.17

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.17.1

$x - 1$ を $(x + 1) {(x - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) (x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.17.2

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) (x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.17.3

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.18.1

分配則を当てはめます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.18.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.18.2.1

$x - 1 - x - 1 \cdot 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.18.2.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.18.2.1.2

$0$ から $1$ を引きます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.18.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.18.2.3

$- 1$ から $1$ を引きます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.18.3

分数の前に負数を移動させます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.3.19

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

ステップ 4.3.20

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{- x^{- 2}}}$

ステップ 4.3.21

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

ステップ 4.5

因数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} x^{2}}$

ステップ 4.5.2

$\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} x^{2}}$

ステップ 4.5.3

$\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 6

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 6.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 6.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

分配則を当てはめます。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x (x - 1) + 1 (x - 1)}}$

ステップ 6.1.3.2

分配則を当てはめます。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}}$

ステップ 6.1.3.3

分配則を当てはめます。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

ステップ 6.1.3.4

$x$ と $- 1$ を並べ替えます。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

ステップ 6.1.3.5

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

ステップ 6.1.3.6

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

ステップ 6.1.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

ステップ 6.1.3.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

ステップ 6.1.3.8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.8.2.1

$x$ に $1$ をかけます。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}}$

ステップ 6.1.3.8.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x - 1}}$

ステップ 6.1.3.8.3

$- 1 x$ と $x$ をたし算します。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} + 0 - 1}}$

ステップ 6.1.3.8.4

$0$ から $1$ を引きます。

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1}}$

ステップ 6.1.3.9

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 6.1.3.10

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 6.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 6.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}$

ステップ 6.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}}$

ステップ 6.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}}$

ステップ 6.3.3

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

ステップ 6.3.4

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

ステップ 6.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

ステップ 6.3.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

ステップ 6.3.7

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

ステップ 6.3.8

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

ステップ 6.3.9

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

ステップ 6.3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}}$

ステップ 6.3.11

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (1 + 0)}}$

ステップ 6.3.12

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \cdot 1}}$

ステップ 6.3.13

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + x - 1}}$

ステップ 6.3.14

$x$ と $x$ をたし算します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 1 - 1}}$

ステップ 6.3.15

$1$ から $1$ を引きます。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 0}}$

ステップ 6.3.16

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}$

ステップ 6.4

約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1

共通因数を約分します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}$

ステップ 6.4.1.2

式を書き換えます。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

ステップ 6.4.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

共通因数を約分します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

ステップ 6.4.2.2

式を書き換えます。

$e^{2 lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{2}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$e^{2}$

10進法形式：

$7.38905609 \dots$

微分積分 例

微分積分例