微分積分例

$\int \frac{x^{7} \sqrt{x}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{x^{7} x^{\frac{1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

ステップ 1.2

指数を足して $x^{7}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{x^{7 + \frac{1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

ステップ 1.2.2

$7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int \frac{x^{7 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

ステップ 1.2.3

$7$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{x^{\frac{7 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

ステップ 1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{x^{\frac{7 \cdot 2 + 1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

ステップ 1.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$7$ に $2$ をかけます。

$\int \frac{x^{\frac{14 + 1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

ステップ 1.2.5.2

$14$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{x^{\frac{15}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

ステップ 1.3

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{5}$ を分子に移動させます。

$\int x^{\frac{15}{2}} x^{- 5} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

ステップ 1.4

指数を足して $x^{\frac{15}{2}}$ に $x^{- 5}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{\frac{15}{2} - 5} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

ステップ 1.4.2

$- 5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int x^{\frac{15}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

ステップ 1.4.3

$- 5$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int x^{\frac{15}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

ステップ 1.4.4

公分母の分子をまとめます。

$\int x^{\frac{15 - 5 \cdot 2}{2}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

ステップ 1.4.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.5.1

$- 5$ に $2$ をかけます。

$\int x^{\frac{15 - 10}{2}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

ステップ 1.4.5.2

$15$ から $10$ を引きます。

$\int x^{\frac{5}{2}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x^{\frac{5}{2}} d x + \int - 3 \sqrt[3]{x} d x + \int 5 x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x^{\frac{5}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ です。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C + \int - 3 \sqrt[3]{x} d x + \int 5 x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

ステップ 4

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 \int \sqrt[3]{x} d x + \int 5 x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

ステップ 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int 5 x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ です。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int 5 x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

ステップ 7

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 5 \int x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

ステップ 9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - \int \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x) + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{3}{4}$ と $x^{\frac{4}{3}}$ をまとめます。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x) + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

ステップ 11.2

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x) + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

ステップ 12

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) - (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)) + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

ステップ 13

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) - \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + e^{x} + C + \int 2021 d x$

ステップ 14

定数の法則を当てはめます。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) - \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + e^{x} + C + 2021 x + C$

ステップ 15

簡約します。

$\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} + x^{5} - \frac{\ln (| x |)}{2} + e^{x} + 2021 x + C$

ステップ 16

項を並べ替えます。

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} - \frac{9}{4} x^{\frac{4}{3}} + x^{5} - \frac{1}{2} \ln (| x |) + e^{x} + 2021 x + C$

微分積分 例

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