微分積分例

$\int x (x^{2} + 7) (\frac{1}{3}) d x$

ステップ 1

$\frac{1}{3}$ と $x$ をまとめます。

$\int \frac{x}{3} (x^{2} + 7) d x$

ステップ 2

$u_{1} = \frac{x}{3}$ とします。次に $d u_{1} = \frac{1}{3} d x$ すると、 $3 d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{1} = \frac{x}{3}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\frac{x}{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3}$

ステップ 2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int 3 u_{1} ({(3 u_{1})}^{2} + 7) d u_{1}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$3$ を $3 u_{1}$ で因数分解します。

$\int 3 u_{1} ({(3 (u_{1}))}^{2} + 7) d u_{1}$

ステップ 3.2

積の法則を $3 (u_{1})$ に当てはめます。

$\int 3 u_{1} (3^{2} {u_{1}}^{2} + 7) d u_{1}$

ステップ 3.3

$3$ を $2$ 乗します。

$\int 3 u_{1} (9 {u_{1}}^{2} + 7) d u_{1}$

ステップ 4

$u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} + 7$ とします。次に $d u_{2} = 18 u_{1} d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{18} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} + 7$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$9 {u_{1}}^{2} + 7$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2} + 7]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $9 {u_{1}}^{2} + 7$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$9$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $9 {u_{1}}^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ です。

$9 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 (2 u_{1}) + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $9$ をかけます。

$18 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$7$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$18 u_{1} + 0$

ステップ 4.1.4.2

$18 u_{1}$ と $0$ をたし算します。

$18 u_{1}$

ステップ 4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int 3 u_{2} \frac{1}{18} d u_{2}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{18}$ と $3$ をまとめます。

$\int \frac{3}{18} u_{2} d u_{2}$

ステップ 5.2

$\frac{3}{18}$ と $u_{2}$ をまとめます。

$\int \frac{3 u_{2}}{18} d u_{2}$

ステップ 5.3

$3$ と $18$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$3$ を $3 u_{2}$ で因数分解します。

$\int \frac{3 (u_{2})}{18} d u_{2}$

ステップ 5.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1

$3$ を $18$ で因数分解します。

$\int \frac{3 u_{2}}{3 \cdot 6} d u_{2}$

ステップ 5.3.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{3 u_{2}}{3 \cdot 6} d u_{2}$

ステップ 5.3.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{u_{2}}{6} d u_{2}$

ステップ 6

$\frac{1}{6}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} \int u_{2} d u_{2}$

ステップ 7

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$\frac{1}{6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ を $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\frac{1}{6}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{6 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 8.2.2

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{12} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 9

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 9.1

$u_{2}$ のすべての発生を $9 {u_{1}}^{2} + 7$ で置き換えます。

$\frac{1}{12} {(9 {u_{1}}^{2} + 7)}^{2} + C$

ステップ 9.2

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{x}{3}$ で置き換えます。

$\frac{1}{12} {(9 {(\frac{x}{3})}^{2} + 7)}^{2} + C$

ステップ 10

項を並べ替えます。

$\frac{1}{12} {(9 {(\frac{1}{3} x)}^{2} + 7)}^{2} + C$

微分積分 例

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