微分積分例

$\frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$4$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(2 y + 1)}^{2}}]$ です。

$4 \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(2 y + 1)}^{2}}]$

ステップ 1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{1}{{(2 y + 1)}^{2}}$ を ${({(2 y + 1)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$4 \frac{d}{d y} [{({(2 y + 1)}^{2})}^{- 1}]$

ステップ 1.2.2

${({(2 y + 1)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{- 2}]$

ステップ 2

$f (y) = y^{- 2}$ および $g (y) = 2 y + 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 y + 1$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d y} [2 y + 1])$

ステップ 2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d y} [2 y + 1])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $2 y + 1$ で置き換えます。

$4 (- 2 {(2 y + 1)}^{- 3} \frac{d}{d y} [2 y + 1])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 2$ に $4$ をかけます。

$- 8 ({(2 y + 1)}^{- 3} \frac{d}{d y} [2 y + 1])$

ステップ 3.2

総和則では、 $2 y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1])$

ステップ 3.3

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])$

ステップ 3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (2 + \frac{d}{d y} [1])$

ステップ 3.6

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (2 + 0)$

ステップ 3.7

式を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} \cdot 2$

ステップ 3.7.2

$2$ に $- 8$ をかけます。

$- 16 {(2 y + 1)}^{- 3}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 16 \frac{1}{{(2 y + 1)}^{3}}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$- 16$ と $\frac{1}{{(2 y + 1)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 16}{{(2 y + 1)}^{3}}$

ステップ 4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{16}{{(2 y + 1)}^{3}}$

微分積分 例

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