微分積分例

$lim_{x \to 81} \frac{x (\sqrt{x} - 9)}{x - 81}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 81} x (\sqrt{x} - 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $81$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 81} x \cdot lim_{x \to 81} \sqrt{x} - 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ が $81$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 81} x \cdot (lim_{x \to 81} \sqrt{x} - lim_{x \to 81} 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

ステップ 1.1.2.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{lim_{x \to 81} x \cdot (\sqrt{lim_{x \to 81} x} - lim_{x \to 81} 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ が $81$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 81} x \cdot (\sqrt{lim_{x \to 81} x} - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

ステップ 1.1.2.5

すべての $x$ に $81$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$x$ を $81$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{81 \cdot (\sqrt{lim_{x \to 81} x} - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

ステップ 1.1.2.5.2

$x$ を $81$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{81 \cdot (\sqrt{81} - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

ステップ 1.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1.1

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$\frac{81 \cdot (\sqrt{9^{2}} - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

ステップ 1.1.2.6.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{81 \cdot (9 - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

ステップ 1.1.2.6.1.3

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{81 \cdot (9 - 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

ステップ 1.1.2.6.2

$9$ から $9$ を引きます。

$\frac{81 \cdot 0}{lim_{x \to 81} x - 81}$

ステップ 1.1.2.6.3

$81$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - 81}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $81$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - lim_{x \to 81} 81}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $81$ に近づくと定数である $81$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - 1 \cdot 81}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $81$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{81 - 1 \cdot 81}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$- 1$ に $81$ をかけます。

$\frac{0}{81 - 81}$

ステップ 1.1.3.3.2

$81$ から $81$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 81} \frac{x (\sqrt{x} - 9)}{x - 81} = lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [x (\sqrt{x} - 9)]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [x (\sqrt{x} - 9)]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [x (x^{\frac{1}{2}} - 9)]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.3

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 81} \frac{x \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 9] + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.4

総和則では、 $x^{\frac{1}{2}} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.5

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.8

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.10

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.11

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.13

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.14

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 81} \frac{x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.15

$x$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.16

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.17

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.17.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.17.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.17.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.17.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.17.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.17.4

$2$ から $1$ を引きます。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.18

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.19

$x^{\frac{1}{2}} - 9$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.20

$x^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.21

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.22

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.23

$2$ を $x^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.24

$x^{\frac{1}{2}}$ と $2 x^{\frac{1}{2}}$ をたし算します。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

ステップ 1.3.25

総和則では、 $x - 81$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 81]$ です。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 81]}$

ステップ 1.3.26

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{1 + \frac{d}{d x} [- 81]}$

ステップ 1.3.27

$- 81$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 81$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{1 + 0}$

ステップ 1.3.28

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{1}$

ステップ 1.4

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 9}{1}$

ステップ 1.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$- 9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}}{1}$

ステップ 1.5.2

$- 9$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}}{1}$

ステップ 1.5.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 \sqrt{x} - 9 \cdot 2}{2}}{1}$

ステップ 1.6

$\frac{3 \sqrt{x} - 9 \cdot 2}{2}$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 81} \frac{3 \sqrt{x} - 9 \cdot 2}{2}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 81} 3 \sqrt{x} - 9 \cdot 2$

ステップ 2.2

$x$ が $81$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 81} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 81} 9 \cdot 2)$

ステップ 2.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (3 lim_{x \to 81} \sqrt{x} - lim_{x \to 81} 9 \cdot 2)$

ステップ 2.4

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{lim_{x \to 81} x} - lim_{x \to 81} 9 \cdot 2)$

ステップ 2.5

$x$ が $81$ に近づくと定数である $9 \cdot 2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{lim_{x \to 81} x} - 9 \cdot 2)$

ステップ 3

$x$ を $81$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{81} - 9 \cdot 2)$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{9^{2}} - 9 \cdot 2)$

ステップ 4.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{2} (3 \cdot 9 - 9 \cdot 2)$

ステップ 4.1.3

$3$ に $9$ をかけます。

$\frac{1}{2} (27 - 9 \cdot 2)$

ステップ 4.1.4

$- 9$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} (27 - 18)$

ステップ 4.2

$27$ から $18$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot 9$

ステップ 4.3

$\frac{1}{2}$ と $9$ をまとめます。

$\frac{9}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{9}{2}$

10進法形式：

$4.5$

微分積分 例

微分積分例