微分積分例

$e^{x - e} + \ln (x) - \frac{x}{e}$

ステップ 1

総和則では、 $e^{x - e} + \ln (x) - \frac{x}{e}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x - e}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x - e}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [e^{x - e}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x - e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - e$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x - e$ で置き換えます。

$e^{x - e} \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x - e$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]$ です。

$e^{x - e} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x - e} (1 + \frac{d}{d x} [- e]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

ステップ 2.4

$- e$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- e$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x - e} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

ステップ 2.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{x - e} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

ステップ 2.6

$e^{x - e}$ に $1$ をかけます。

$e^{x - e} + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

ステップ 3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{x - e} + \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$- \frac{1}{e}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x}{e}$ の微分係数は $- \frac{1}{e} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e} \cdot 1$

ステップ 4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

項をまとめます。

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ステップ 5.1.1

$e^{x - e}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{e^{x - e} x}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$

ステップ 5.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} - \frac{1}{e}$

ステップ 5.1.3

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e}{e}$ を掛けます。

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} \cdot \frac{e}{e} - \frac{1}{e}$

ステップ 5.1.4

$- \frac{1}{e}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} \cdot \frac{e}{e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{x}{x}$

ステップ 5.1.5

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x e$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.1.5.1

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x}$ に $\frac{e}{e}$ をかけます。

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{x e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{x}{x}$

ステップ 5.1.5.2

$\frac{1}{e}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{x e} - \frac{x}{e x}$

ステップ 5.1.5.3

$x e$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{e x} - \frac{x}{e x}$

ステップ 5.1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e - x}{e x}$

ステップ 5.2

項を並べ替えます。

$\frac{e (e^{x - e} x + 1) - x}{e x}$

微分積分 例

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