微分積分例

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 1}$

ステップ 1

$20$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 1}$ の微分係数は $20 \frac{d}{d t} [{(1 + e^{10 - t})}^{- 1}]$ です。

$20 \frac{d}{d t} [{(1 + e^{10 - t})}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = 1 + e^{10 - t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 + e^{10 - t}$ とします。

$20 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + e^{10 - t}$ で置き換えます。

$20 (- {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $20$ をかけます。

$- 20 ({(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

ステップ 3.2

総和則では、 $1 + e^{10 - t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$ です。

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}])$

ステップ 3.3

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}])$

ステップ 3.4

$0$ と $\frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$ をたし算します。

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$

ステップ 4

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = 10 - t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $10 - t$ とします。

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [10 - t])$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [10 - t])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $10 - t$ で置き換えます。

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \frac{d}{d t} [10 - t])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

総和則では、 $10 - t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]$ です。

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]))$

ステップ 5.2

$10$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (0 + \frac{d}{d t} [- t]))$

ステップ 5.3

$0$ と $\frac{d}{d t} [- t]$ をたし算します。

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \frac{d}{d t} [- t])$

ステップ 5.4

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 5.5

$- 1$ に $- 20$ をかけます。

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (\frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 5.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \cdot 1)$

ステップ 5.7

$e^{10 - t}$ に $1$ をかけます。

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} e^{10 - t}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$20 \frac{1}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}} e^{10 - t}$

ステップ 6.2

項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

$20$ と $\frac{1}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{20}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}} e^{10 - t}$

ステップ 6.2.2

$\frac{20}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$ と $e^{10 - t}$ をまとめます。

$\frac{20 e^{10 - t}}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$

微分積分 例

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