微分積分例

$y = x^{9 \sin (x)}$

ステップ 1

$y = f (x)$ とし、両辺 $\ln (y) = \ln (f (x))$ の自然対数を取ります。

$\ln (y) = \ln (x^{9 \sin (x)})$

ステップ 2

$9 \sin (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{9 \sin (x)})$ を展開します。

$\ln (y) = 9 \sin (x) \ln (x)$

ステップ 3

連鎖律を利用して式を微分します。 $y$ が $x$ の関数であることを覚えておいてください。

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ステップ 3.1

連鎖律を利用して左側 $\ln (y)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = 9 \sin (x) \ln (x)$

ステップ 3.2

右側を微分します。

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ステップ 3.2.1

$9 \sin (x) \ln (x)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [9 \sin (x) \ln (x)]$

ステップ 3.2.2

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 \sin (x) \ln (x)$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$ です。

$\frac{y'}{y} = 9 \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

ステップ 3.2.3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = 9 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.2.4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{y'}{y} = 9 (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.2.5

$\sin (x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = 9 (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.2.6

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{y'}{y} = 9 (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

ステップ 3.2.7

簡約します。

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ステップ 3.2.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y'}{y} = 9 \frac{\sin (x)}{x} + 9 (\ln (x) \cos (x))$

ステップ 3.2.7.2

$9$ と $\frac{\sin (x)}{x}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \sin (x)}{x} + 9 \ln (x) \cos (x)$

ステップ 3.2.7.3

項を並べ替えます。

$\frac{y'}{y} = 9 \cos (x) \ln (x) + \frac{9 \sin (x)}{x}$

ステップ 4

$y'$ を取り出し、右側の $y$ に元の関数を代入します。

$y' = (9 \cos (x) \ln (x) + \frac{9 \sin (x)}{x}) x^{9 \sin (x)}$

ステップ 5

右側を簡約します。

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ステップ 5.1

$9 \cos (x) \ln (x)$ を掛けます。

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ステップ 5.1.1

$\ln (x)$ と $9$ を並べ替えます。

$y' = (9 \cdot \ln (x) \cos (x) + \frac{9 \sin (x)}{x}) x^{9 \sin (x)}$

ステップ 5.1.2

対数の中の $9$ を移動させて $9 \cdot \ln (x)$ を簡約します。

$y' = (\ln (x^{9}) \cos (x) + \frac{9 \sin (x)}{x}) x^{9 \sin (x)}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$y' = \ln (x^{9}) \cos (x) x^{9 \sin (x)} + \frac{9 \sin (x)}{x} x^{9 \sin (x)}$

ステップ 5.3

$\frac{9 \sin (x)}{x}$ と $x^{9 \sin (x)}$ をまとめます。

$y' = \ln (x^{9}) \cos (x) x^{9 \sin (x)} + \frac{9 \sin (x) x^{9 \sin (x)}}{x}$

ステップ 5.4

$x^{9 \sin (x)}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$x$ を $9 \sin (x) x^{9 \sin (x)}$ で因数分解します。

$y' = \ln (x^{9}) \cos (x) x^{9 \sin (x)} + \frac{x (9 \sin (x) x^{9 \sin (x) - 1})}{x}$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y' = \ln (x^{9}) \cos (x) x^{9 \sin (x)} + \frac{x (9 \sin (x) x^{9 \sin (x) - 1})}{x^{1}}$

ステップ 5.4.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$y' = \ln (x^{9}) \cos (x) x^{9 \sin (x)} + \frac{x (9 \sin (x) x^{9 \sin (x) - 1})}{x \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.3

共通因数を約分します。

$y' = \ln (x^{9}) \cos (x) x^{9 \sin (x)} + \frac{x (9 \sin (x) x^{9 \sin (x) - 1})}{x \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.4

式を書き換えます。

$y' = \ln (x^{9}) \cos (x) x^{9 \sin (x)} + \frac{9 \sin (x) x^{9 \sin (x) - 1}}{1}$

ステップ 5.4.2.5

$9 \sin (x) x^{9 \sin (x) - 1}$ を $1$ で割ります。

$y' = \ln (x^{9}) \cos (x) x^{9 \sin (x)} + 9 \sin (x) x^{9 \sin (x) - 1}$

ステップ 5.5

$\ln (x^{9}) \cos (x) x^{9 \sin (x)} + 9 \sin (x) x^{9 \sin (x) - 1}$ の因数を並べ替えます。

$y' = x^{9 \sin (x)} \ln (x^{9}) \cos (x) + 9 x^{9 \sin (x) - 1} \sin (x)$

微分積分 例

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