微分積分例

$\int \frac{8 \sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$8 \int \frac{\sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$8 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$8 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 2.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 2.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 2.4.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 2.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 3

$u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ とします。次に $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ すると、 $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

ステップ 3.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 3.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

ステップ 3.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

ステップ 3.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 3.1.8

簡約します。

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ステップ 3.1.8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.1.8.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$8 \int 2 \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 4

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$8 (2 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 5

$2$ に $8$ をかけます。

$16 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6

$\sin^{2} (u_{1})$ を因数分解します。

$16 \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sin^{2} (u_{1})$ を $1 - \cos^{2} (u_{1})$ に書き換えます。

$16 \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 8

$u_{2} = \cos (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ すると、 $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u_{2} = \cos (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$\cos (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

ステップ 8.1.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1})$

ステップ 8.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$16 \int - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$16 (\int - 1 d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$16 (- u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 11

べき乗則では、 ${u_{2}}^{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ です。

$16 (- u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{3}$ と ${u_{2}}^{3}$ をまとめます。

$16 (- u_{2} + C + \frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C)$

ステップ 12.2

簡約します。

$16 (- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

ステップ 13

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 13.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (u_{1})$ で置き換えます。

$16 (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1})) + C$

ステップ 13.2

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})) + C$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$\frac{1}{3}$ と $\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ をまとめます。

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}) + C$

ステップ 14.2

分配則を当てはめます。

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}})) + 16 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

ステップ 14.3

$- 1$ に $16$ をかけます。

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + 16 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

ステップ 14.4

$16$ と $\frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}$ をまとめます。

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{16 \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

ステップ 15

項を並べ替えます。

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{16}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}}) + C$

微分積分 例

微分積分例