微分積分例

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} - \frac{1}{4}}$

ステップ 1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

ステップ 1.2

$x^{2}$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}}$

ステップ 1.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 4 - 1}{4}}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

極限の独立変数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} (x + 2 x^{2}) \frac{4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

ステップ 2.1.2

$x + 2 x^{2}$ に $\frac{4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$ をかけます。

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{(x + 2 x^{2}) \cdot 4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

ステップ 2.2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$x$ が $- \frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 2 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

ステップ 3.1.2.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

ステップ 3.1.2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

ステップ 3.1.2.4

すべての $x$ に $- \frac{1}{2}$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.1

$x$ を $- \frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

ステップ 3.1.2.4.2

$x$ を $- \frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- \frac{1}{2})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

ステップ 3.1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.5.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.5.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

ステップ 3.1.2.5.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

ステップ 3.1.2.5.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \cdot 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

ステップ 3.1.2.5.1.3

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

ステップ 3.1.2.5.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.5.1.4.1

$2$ を $2^{2}$ で因数分解します。

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

ステップ 3.1.2.5.1.4.2

共通因数を約分します。

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

ステップ 3.1.2.5.1.4.3

式を書き換えます。

$4 \frac{- \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

ステップ 3.1.2.5.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \frac{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

ステップ 3.1.2.5.2

公分母の分子をまとめます。

$4 \frac{\frac{- 1 + 1}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

ステップ 3.1.2.5.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$4 \frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

ステップ 3.1.2.5.4

$0$ を $2$ で割ります。

$4 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.1

$x$ が $- \frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$4 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

ステップ 3.1.3.1.2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{0}{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

ステップ 3.1.3.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$4 \frac{0}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

ステップ 3.1.3.1.4

$x$ が $- \frac{1}{2}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$4 \frac{0}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ を $- \frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{0}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.3.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.3.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$4 \frac{0}{4 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.3.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$4 \frac{0}{4 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.3.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$4 \frac{0}{4 \cdot 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.3.1.3

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{0}{4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.3.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \frac{0}{4 \frac{1}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.3.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$4 \frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.3.1.6

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.3.1.6.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.3.1.6.2

式を書き換えます。

$4 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.3.1.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{0}{1 - 1}$

ステップ 3.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$4 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$4 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$4 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$4 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot 4 - 1} = lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $x + 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ です。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

ステップ 3.3.4

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

ステップ 3.3.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 2 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

ステップ 3.3.4.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 4 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

ステップ 3.3.5

項を並べ替えます。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

ステップ 3.3.6

総和則では、 $x^{2} \cdot 4 - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.3.7

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

$4$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [4 \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.3.7.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.3.7.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{4 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.3.7.4

$2$ に $4$ をかけます。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.3.8

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x + 0}$

ステップ 3.3.9

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{8}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{8}) lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{x}$

ステップ 4.2

$x$ が $- \frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$4 (\frac{1}{8}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

ステップ 4.3

$x$ が $- \frac{1}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$4 (\frac{1}{8}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

ステップ 4.4

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

ステップ 4.5

$x$ が $- \frac{1}{2}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

ステップ 5

すべての $x$ に $- \frac{1}{2}$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ を $- \frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

ステップ 5.2

$x$ を $- \frac{1}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$4 \frac{1}{4 (2)} \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

ステップ 6.1.2

共通因数を約分します。

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

ステップ 6.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

ステップ 6.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2} ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) (- 1 \cdot 2))$

ステップ 6.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$2$ を $(4 (- \frac{1}{2}) + 1) (- 1 \cdot 2)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (2 ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)))$

ステップ 6.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (2 ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)))$

ステップ 6.3.3

式を書き換えます。

$(4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)$

ステップ 6.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$(- 4 (\frac{1}{2}) + 1) \cdot - 1$

ステップ 6.5

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$(\frac{- 4}{2} + 1) \cdot - 1$

ステップ 6.6

$- 4$ を $2$ で割ります。

$(- 2 + 1) \cdot - 1$

ステップ 6.7

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$- 1 \cdot - 1$

ステップ 6.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1$

微分積分 例

微分積分例