微分積分例

$\int \frac{(2 r - 1) \cos (\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6})}{\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6}} d r$

ステップ 1

$u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ とします。次に $d u_{1} = (24 r - 12) d r$ すると、 $\frac{1}{12} d u_{1} = (2 r - 1) d r$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d r}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ を微分します。

$\frac{d}{d r} [3 {(2 r - 1)}^{2} + 6]$

ステップ 1.1.2

${(2 r - 1)}^{2}$ を $(2 r - 1) (2 r - 1)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d r} [3 ((2 r - 1) (2 r - 1)) + 6]$

ステップ 1.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(2 r - 1) (2 r - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r - 1) - 1 (2 r - 1)) + 6]$

ステップ 1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r - 1)) + 6]$

ステップ 1.1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

ステップ 1.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r \cdot r + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

ステップ 1.1.4.1.2

指数を足して $r$ に $r$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.2.1

$r$ を移動させます。

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 (r \cdot r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

ステップ 1.1.4.1.2.2

$r$ に $r$ をかけます。

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

ステップ 1.1.4.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

ステップ 1.1.4.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

ステップ 1.1.4.1.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r - 1 \cdot - 1) + 6]$

ステップ 1.1.4.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r + 1) + 6]$

ステップ 1.1.4.2

$- 2 r$ から $2 r$ を引きます。

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6]$

ステップ 1.1.5

総和則では、 $3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6$ の $r$ に関する積分は $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$ です。

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$

ステップ 1.1.6

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

$3$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $3 (4 r^{2} - 4 r + 1)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1]$ です。

$3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1] + \frac{d}{d r} [6]$

ステップ 1.1.6.2

総和則では、 $4 r^{2} - 4 r + 1$ の $r$ に関する積分は $\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]$ です。

$3 (\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

ステップ 1.1.6.3

$4$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $4 r^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ です。

$3 (4 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

ステップ 1.1.6.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (4 (2 r) + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

ステップ 1.1.6.5

$- 4$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $- 4 r$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d r} [r]$ です。

$3 (4 (2 r) - 4 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

ステップ 1.1.6.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

ステップ 1.1.6.7

$1$ は $r$ について定数なので、 $r$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

ステップ 1.1.6.8

$2$ に $4$ をかけます。

$3 (8 r - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

ステップ 1.1.6.9

$- 4$ に $1$ をかけます。

$3 (8 r - 4 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

ステップ 1.1.6.10

$8 r - 4$ と $0$ をたし算します。

$3 (8 r - 4) + \frac{d}{d r} [6]$

ステップ 1.1.7

$6$ は $r$ について定数なので、 $r$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$3 (8 r - 4) + 0$

ステップ 1.1.8

簡約します。

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ステップ 1.1.8.1

分配則を当てはめます。

$3 (8 r) + 3 \cdot - 4 + 0$

ステップ 1.1.8.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.2.1

$8$ に $3$ をかけます。

$24 r + 3 \cdot - 4 + 0$

ステップ 1.1.8.2.2

$3$ に $- 4$ をかけます。

$24 r - 12 + 0$

ステップ 1.1.8.2.3

$24 r - 12$ と $0$ をたし算します。

$24 r - 12$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{12} d u_{1}$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ に $\frac{1}{12}$ をかけます。

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 12} d u_{1}$

ステップ 2.2

$12$ を $\sqrt{u_{1}}$ の左に移動させます。

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{12 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{12}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{12}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

ステップ 4.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

ステップ 4.3

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

ステップ 4.4

${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

ステップ 4.4.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

ステップ 4.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

ステップ 5

$u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ すると、 $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 5.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

ステップ 5.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 5.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 5.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 5.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

ステップ 5.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

ステップ 5.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 5.1.8

簡約します。

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ステップ 5.1.8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.8.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{12} \int 2 \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 6

$2$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{12} (2 \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$2$ と $\frac{1}{12}$ をまとめます。

$\frac{2}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 7.2

$2$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 7.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 7.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 7.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 8

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{1}{6} (\sin (u_{2}) + C)$

ステップ 9

簡約します。

$\frac{1}{6} \sin (u_{2}) + C$

ステップ 10

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 10.1

$u_{2}$ のすべての発生を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{6} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 10.2

$u_{1}$ のすべての発生を $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ で置き換えます。

$\frac{1}{6} \sin ({(3 {(2 r - 1)}^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}) + C$

微分積分 例

微分積分例