微分積分例

$x = \frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (x) = \frac{d}{d y} (\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}})$

ステップ 2

$y$ に関する $x$ の微分係数は $x'$ です。

$x'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{4}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{y^{4}}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

ステップ 3.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

ステップ 3.2.3

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{4}{4} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

ステップ 3.2.4

$\frac{4}{4}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

ステップ 3.2.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

ステップ 3.2.5.2

$y^{3}$ を $1$ で割ります。

$y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{8}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{1}{8 y^{2}}$ の微分係数は $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ です。

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{y^{2}}$ を ${(y^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

ステップ 3.3.3

$f (y) = y^{- 1}$ および $g (y) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y^{2}$ とします。

$y^{3} + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

ステップ 3.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y^{3} + \frac{1}{8} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

ステップ 3.3.3.3

$u$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

ステップ 3.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

ステップ 3.3.5

${(y^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

ステップ 3.3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{- 4} (2 y))$

ステップ 3.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 4} y)$

ステップ 3.3.7

$y$ を $1$ 乗します。

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

ステップ 3.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{1 - 4})$

ステップ 3.3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 3})$

ステップ 3.3.10

$- 2$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$y^{3} + \frac{- 2}{8} y^{- 3}$

ステップ 3.3.11

$\frac{- 2}{8}$ と $y^{- 3}$ をまとめます。

$y^{3} + \frac{- 2 y^{- 3}}{8}$

ステップ 3.3.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- 3}$ を分母に移動させます。

$y^{3} + \frac{- 2}{8 y^{3}}$

ステップ 3.3.13

$- 2$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.13.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{8 y^{3}}$

ステップ 3.3.13.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.13.2.1

$2$ を $8 y^{3}$ で因数分解します。

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{2 (4 y^{3})}$

ステップ 3.3.13.2.2

共通因数を約分します。

$y^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (4 y^{3})}$

ステップ 3.3.13.2.3

式を書き換えます。

$y^{3} + \frac{- 1}{4 y^{3}}$

ステップ 3.3.14

分数の前に負数を移動させます。

$y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x' = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

ステップ 5

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

微分積分 例

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