微分積分例

$2^{x^{2} + 3}$

ステップ 1

$f (x) = 2^{x}$ および $g (x) = x^{2} + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 3$ とします。

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

ステップ 1.2

$a$ = $2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 3$ で置き換えます。

$2^{x^{2} + 3} \ln (2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$2^{x^{2} + 3} \ln (2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2^{x^{2} + 3} \ln (2) (2 x + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 2.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2^{x^{2} + 3} \ln (2) (2 x + 0)$

ステップ 2.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2^{x^{2} + 3} \ln (2) (2 x)$

ステップ 3

$2$ を $1$ 乗します。

$2^{1} \cdot 2^{x^{2} + 3} \ln (2) x$

ステップ 4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2^{1 + x^{2} + 3} \ln (2) x$

ステップ 5

$1$ と $3$ をたし算します。

$2^{x^{2} + 4} \ln (2) x$

ステップ 6

$2^{x^{2} + 4} \ln (2) x$ の因数を並べ替えます。

$2^{x^{2} + 4} x \ln (2)$

微分積分 例