微分積分例

$- \cos (\sqrt{x})$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [- \cos (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x^{\frac{1}{2}})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{2}})]$ です。

$- \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$- (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$- (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.2

$\sin (x^{\frac{1}{2}})$ に $1$ をかけます。

$\sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 10

$\sin (x^{\frac{1}{2}})$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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