微分積分例

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

ステップ 1

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (d x) d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$d$ と $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ をまとめます。

$\int \frac{d}{2 \sqrt{x}} \cdot x d x$

ステップ 4.2

$\frac{d}{2 \sqrt{x}}$ と $x$ をまとめます。

$\int \frac{d x}{2 \sqrt{x}} d x$

ステップ 5

$\frac{d}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{d}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{d}{2} \int \frac{x}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 6

式を簡約します。

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ステップ 6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{2} \int \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{d}{2} \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 6.2.2

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 6.2.2.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 6.2.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{2} \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 6.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{2} \int x^{1 - \frac{1}{2}} d x$

ステップ 6.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

ステップ 6.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{2 - 1}{2}} d x$

ステップ 6.2.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{d}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{d}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

ステップ 8.2

$\frac{d}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$ を $\frac{1}{2} d \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} d \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

$\frac{1}{2}$ と $d$ をまとめます。

$\frac{d}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8.3.2

$\frac{d}{2}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{d \cdot 2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{d \cdot 2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8.3.4

$2$ を $d$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot d}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8.3.5

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.5.1

$2$ を $2 d$ で因数分解します。

$\frac{2 (d)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8.3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.5.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 d}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 d}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8.3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8.3.6

$\frac{d}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{d x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

$\frac{1}{3} d x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 9

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (d x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} d x^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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