微分積分例

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$

ステップ 1

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \sqrt{1 + 4 x^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x$

ステップ 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ とします。次に $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ は正であることに注意します。

$\int \sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\tan (t)$ をまとめます。

$\int \sqrt{1 + 4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.2

積の法則を $\frac{\tan (t)}{2}$ に当てはめます。

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.2

項を並べ替えます。

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$\sec (t)$ と $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.2.2

指数を足して $\sec (t)$ に $\sec^{2} (t)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$\sec (t)$ に $\sec^{2} (t)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 5.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

ステップ 5.2.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \sec^{3} (t) d t$

ステップ 7

$\sec (t)$ を $\sec^{3} (t)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

ステップ 8

$u = \sec (t)$ と $d v = \sec^{2} (t)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

ステップ 9

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

ステップ 10

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

ステップ 12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 12.2

$\tan^{2} (t)$ と $\sec (t)$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

ステップ 13

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

ステップ 14

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

累乗法を積に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 14.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 14.3

$\sec (t)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 15

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

ステップ 16

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

ステップ 18

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 19

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

ステップ 20

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

ステップ 21

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 22

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 23

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 24

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 25

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 25.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 26

$\int \sec^{3} (t) d t$ を解くと、 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ であることが分かります。

$\frac{1}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

ステップ 27

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

ステップ 28

簡約します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 29

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 29.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 30

$t$ のすべての発生を $\arctan (2 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} (\sec (\arctan (2 x)) \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

ステップ 31

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.1

交点 $(1, 2 x)$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arctan (2 x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, 2 x)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sec (\arctan (2 x))$ は $\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}$ です。

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

ステップ 31.1.2

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

ステップ 31.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

ステップ 31.1.4

関数の正切と逆正切は逆です。

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} (2 x) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

ステップ 31.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

ステップ 31.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.6.1

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

ステップ 31.1.6.2

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 2^{2} x^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

ステップ 31.1.6.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

ステップ 31.1.6.4

関数の正切と逆正切は逆です。

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

ステップ 31.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

ステップ 31.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 (2)} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

ステップ 31.3.2

$2$ を $2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 (2)} (2 (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

ステップ 31.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

ステップ 31.3.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

ステップ 31.4

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

ステップ 31.5

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

ステップ 31.6

$\frac{1}{4}$ と $\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

ステップ 31.7

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

ステップ 31.8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.8.1

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

ステップ 31.8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{4} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

ステップ 31.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2 + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

ステップ 31.10

$2$ を $\sqrt{1 + 4 x^{2}} x$ の左に移動させます。

$\frac{2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

ステップ 32

項を並べ替えます。

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

ステップ 33

答えは関数 $f (x) = \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

微分積分 例

微分積分例