微分積分例

$1 + \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $1 + \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}]$

ステップ 1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 1}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.3

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 2.4

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$0 + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.4.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + 1$ とします。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]))$

ステップ 2.5.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

ステップ 2.5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

ステップ 2.6

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

ステップ 2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])))$

ステップ 2.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

ステップ 2.9

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.9.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

ステップ 2.9.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.9.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

ステップ 2.9.2.2

共通因数を約分します。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

ステップ 2.9.2.3

式を書き換えます。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

ステップ 2.10

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)))$

ステップ 2.11

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

ステップ 2.12

公分母の分子をまとめます。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

ステップ 2.13

分子を簡約します。

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ステップ 2.13.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)))$

ステップ 2.13.2

$1$ から $2$ を引きます。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)))$

ステップ 2.14

分数の前に負数を移動させます。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)))$

ステップ 2.15

$1$ と $0$ をたし算します。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1))$

ステップ 2.16

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1))$

ステップ 2.17

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.18

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 2.19

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と ${(x + 1)}^{- 1}$ をまとめます。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{{(x + 1)}^{- 1}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 2.20

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 1)}^{- 1}$ を分母に移動させます。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)})$

ステップ 2.21

指数を足して ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $x + 1$ を掛けます。

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ステップ 2.21.1

$x + 1$ を移動させます。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ((x + 1) {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

ステップ 2.21.2

$x + 1$ に ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 2.21.2.1

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

ステップ 2.21.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}})$

ステップ 2.21.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

ステップ 2.21.4

公分母の分子をまとめます。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}})$

ステップ 2.21.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 2.22

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$0 - \frac{1}{2 (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 2.23

$2$ に $2$ をかけます。

$0 - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3

$0$ から $\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ を引きます。

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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