微分積分例

$\int 9 x^{2} \sqrt{x^{3} - 1} d x$

ステップ 1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$9 \int x^{2} \sqrt{x^{3} - 1} d x$

ステップ 2

$u = x^{3} - 1$ とします。次に $d u = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = x^{3} - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x^{3} - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $x^{3} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 0$

ステップ 2.1.5

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2}$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$9 \int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

ステップ 3

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$9 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$9 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\frac{1}{3}$ と $9$ をまとめます。

$\frac{9}{3} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2

$9$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{1} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.1.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$3 \int \sqrt{u} d u$

ステップ 5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ を $3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$3$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.2.3

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.2.3.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $x^{3} - 1$ で置き換えます。

$2 {(x^{3} - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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