微分積分例

$3 {(x + 1)}^{2}$

ステップ 1

$3 {(x + 1)}^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = 3 {(x + 1)}^{2}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 3 {(x + 1)}^{2} d x$

ステップ 4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int {(x + 1)}^{2} d x$

ステップ 5

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$3 \int u^{2} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ を $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ に書き換えます。

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

ステップ 7.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

ステップ 7.2.2.2

式を書き換えます。

$1 u^{3} + C$

ステップ 7.2.3

$u^{3}$ に $1$ をかけます。

$u^{3} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

${(x + 1)}^{3} + C$

ステップ 9

答えは関数 $f (x) = 3 {(x + 1)}^{2}$ の不定積分です。

$F (x) =$ ${(x + 1)}^{3} + C$

微分積分 例

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