微分積分例

$\int_{0}^{1} \arctan (2 x) d x$

ステップ 1

$u = \arctan (2 x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2}{4 x^{2} + 1} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$x$ と $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x \cdot 2}{4 x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x}{4 x^{2} + 1} d x$

ステップ 3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x)$

ステップ 4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x$

ステップ 5

$u = 4 x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 8 x d x$ すると、 $\frac{1}{8} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 4 x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$4 x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $4 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3.3

$2$ に $4$ をかけます。

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 5.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$8 x + 0$

ステップ 5.1.4.2

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$8 x$

ステップ 5.2

$u = 4 x^{2} + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 4 \cdot 0^{2} + 1$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

ステップ 5.3.1.2

$4$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 5.3.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 5.4

$u = 4 x^{2} + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 4 \cdot 1^{2} + 1$

ステップ 5.5

簡約します。

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ステップ 5.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 4 \cdot 1 + 1$

ステップ 5.5.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 4 + 1$

ステップ 5.5.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 5$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

ステップ 6.2

$8$ を $u$ の左に移動させます。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{8 u} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{8}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{8}$ と $- 2$ をまとめます。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 2}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

ステップ 8.2

$- 2$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 (- 1)}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

ステップ 8.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

ステップ 8.2.2.2

共通因数を約分します。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

ステップ 8.2.2.3

式を書き換えます。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

ステップ 8.3

分数の前に負数を移動させます。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

ステップ 9

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$1$ および $0$ で $\arctan (2 x) x$ の値を求めます。

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

ステップ 10.2

式を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$5$ および $1$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.2.2

掛け算します。

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ステップ 10.2.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\arctan (2) \cdot 1 - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.2.2.2

$\arctan (2)$ に $1$ をかけます。

$\arctan (2) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.2.2.3

$2$ に $0$ をかけます。

$\arctan (2) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.2.3

簡約します。

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ステップ 10.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\arctan (2) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.2.3.2

$0$ に $\arctan (0)$ をかけます。

$\arctan (2) + 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.2.4

$\arctan (2)$ と $0$ をたし算します。

$\arctan (2) - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.3

簡約します。

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ステップ 10.3.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\arctan (2) - \frac{1}{4} \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

ステップ 10.3.2

$\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{4}$

ステップ 10.4

簡約します。

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ステップ 10.4.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $5$ の間の距離は $5$ です。

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{| 1 |})}{4}$

ステップ 10.4.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{1})}{4}$

ステップ 10.4.3

$5$ を $1$ で割ります。

$\arctan (2) - \frac{\ln (5)}{4}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\arctan (2) - \frac{\ln (5)}{4}$

10進法形式：

$0.70478923 \dots$

微分積分 例

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