微分積分例

$\ln (| 1 - x |)$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = | 1 - x |$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $| 1 - x |$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $| 1 - x |$ で置き換えます。

$\frac{1}{| 1 - x |} \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

ステップ 2

$f (x) = | x |$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 - x$ とします。

$\frac{1}{| 1 - x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $| u_{2} |$ の微分係数は $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ です。

$\frac{1}{| 1 - x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$\frac{1}{| 1 - x |} (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 3

$\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ に $\frac{1}{| 1 - x |}$ をかけます。

$\frac{1 - x}{| 1 - x | | 1 - x |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 4

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\frac{1 - x}{| (1 - x) (1 - x) |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 5

$1 - x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{1} (1 - x) |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 6

$1 - x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{1} {(1 - x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 9

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 11

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 12

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 14

分数をまとめます。

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ステップ 14.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} \cdot - 1$

ステップ 14.2

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{(1 - x) \cdot - 1}{| {(1 - x)}^{2} |}$

ステップ 14.3

式を簡約します。

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ステップ 14.3.1

$- 1$ を $1 - x$ の左に移動させます。

$\frac{- 1 \cdot (1 - x)}{| {(1 - x)}^{2} |}$

ステップ 14.3.2

$- 1 (1 - x)$ を $- (1 - x)$ に書き換えます。

$\frac{- (1 - x)}{| {(1 - x)}^{2} |}$

ステップ 14.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |}$

微分積分 例

微分積分例