微分積分例

$y = x - x \sin (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x - x \sin (x))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $x - x \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$

ステップ 3.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ です。

$1 - \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$1 - (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$1 - (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

ステップ 3.2.5

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$1 - (x \cos (x) + \sin (x))$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$1 - (x \cos (x)) - \sin (x)$

ステップ 3.3.2

不要な括弧を削除します。

$1 - x \cos (x) - \sin (x)$

ステップ 3.3.3

項を並べ替えます。

$- x \cos (x) + 1 - \sin (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - x \cos (x) + 1 - \sin (x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - x \cos (x) + 1 - \sin (x)$

微分積分 例

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