微分積分例

$y = x \sqrt{1 - x^{2}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x^{2}}$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$f (y) = x$ および $g (y) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d y} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.2

$f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ および $g (y) = 1 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 - x^{2}$ とします。

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 - x^{2}$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.7

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.7.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.1

$\frac{1}{2}$ と ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.7.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.7.2.3

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.7.3

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ です。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.7.4

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.7.5

$0$ と $\frac{d}{d y} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- x^{2}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.7.6

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [x^{2}]$ です。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.8

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x$ とします。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.8.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.8.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x \frac{d}{d y} [x])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.9

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 (x \frac{d}{d y} [x])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.9.2

$- 2$ と $\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d y} [x]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.9.3

$x$ と $\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{x (- 2 x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.10

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.11

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.13

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.14

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.15

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.15.1

$2$ を $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.15.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.15.3

式を書き換えます。

$\frac{- x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.16

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.17

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.18

$x'$ と $\frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$- \frac{x' x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 4.19

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$- \frac{x' x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x'$

ステップ 4.20

$- \frac{x' x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x'$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x'$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = - \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x'$

ステップ 6

$x'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式を $- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ として書き換えます。

$- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' = 1$

ステップ 6.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}, 1, 1$

ステップ 6.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3

$- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ の各項に ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ の各項に ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.1

$- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2.1.1.3

式を書き換えます。

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2.1.2

指数を足して ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.2.1

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2.1.2.5

$2$ を $2$ で割ります。

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{1} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2.1.3

${(1 - x^{2})}^{1} x'$ を簡約します。

$- x^{2} x' + (1 - x^{2}) x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2.1.4

分配則を当てはめます。

$- x^{2} x' + 1 x' - x^{2} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2.1.5

$x'$ に $1$ をかけます。

$- x^{2} x' + x' - x^{2} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2.2

$- x^{2} x'$ から $x^{2} x'$ を引きます。

$- 2 x^{2} x' + x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$- 2 x^{2} x' + x' = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$x'$ を $- 2 x^{2} x' + x'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1

$x'$ を $- 2 x^{2} x'$ で因数分解します。

$x' (- 2 x^{2}) + x' = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.4.1.2

$x'$ を $1$ 乗します。

$x' (- 2 x^{2}) + x' = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.4.1.3

$x'$ を ${x'}^{1}$ で因数分解します。

$x' (- 2 x^{2}) + x' \cdot 1 = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.4.1.4

$x'$ を $x' (- 2 x^{2}) + x' \cdot 1$ で因数分解します。

$x' (- 2 x^{2} + 1) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.4.2

$x' (- 2 x^{2} + 1) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の各項を $- 2 x^{2} + 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

$x' (- 2 x^{2} + 1) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の各項を $- 2 x^{2} + 1$ で割ります。

$\frac{x' (- 2 x^{2} + 1)}{- 2 x^{2} + 1} = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x^{2} + 1}$

ステップ 6.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1

$- 2 x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (- 2 x^{2} + 1)}{- 2 x^{2} + 1} = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x^{2} + 1}$

ステップ 6.4.2.2.1.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x^{2} + 1}$

ステップ 6.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.3.1

$- 1$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$x' = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- (2 x^{2}) + 1}$

ステップ 6.4.2.3.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$x' = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- (2 x^{2}) - 1 (- 1)}$

ステップ 6.4.2.3.3

$- 1$ を $- (2 x^{2}) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$x' = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- (2 x^{2} - 1)}$

ステップ 6.4.2.3.4

負の数を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.3.4.1

$- (2 x^{2} - 1)$ を $- 1 (2 x^{2} - 1)$ に書き換えます。

$x' = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- 1 (2 x^{2} - 1)}$

ステップ 6.4.2.3.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$x' = - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x^{2} - 1}$

ステップ 7

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x^{2} - 1}$

微分積分 例

微分積分例