微分積分例

$f (x) = \frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{2}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{5} x^{5}$ の微分係数は $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 1.2.3

$5$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 1.2.4

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 1.2.5

$\frac{10}{5}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 1.2.6

$10$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$5$ を $10 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 1.2.6.2.4

$2 x^{4}$ を $1$ で割ります。

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 1.3.3

$4$ に $5$ をかけます。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x^{3}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 1.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 1.4.3

$3$ に $16$ をかけます。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$- 15$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 15$ の微分係数は $0$ です。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + 0$

ステップ 1.5.2

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{4}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

ステップ 2.2.3

$4$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $20 x^{3}$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 8 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 x^{3} + 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

ステップ 2.3.3

$3$ に $20$ をかけます。

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $48 x^{2}$ の微分係数は $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 48 (2 x)$

ステップ 2.4.3

$2$ に $48$ をかけます。

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 96 x$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{2}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{5} x^{5}$ の微分係数は $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 4.1.2.3

$5$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 4.1.2.4

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 4.1.2.5

$\frac{10}{5}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 4.1.2.6

$10$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$5$ を $10 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 4.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 4.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 4.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 4.1.2.6.2.4

$2 x^{4}$ を $1$ で割ります。

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 4.1.3.3

$4$ に $5$ をかけます。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x^{3}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 4.1.4.3

$3$ に $16$ をかけます。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15]$

ステップ 4.1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$- 15$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 15$ の微分係数は $0$ です。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + 0$

ステップ 4.1.5.2

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ です。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2 x^{2}$ を $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$2 x^{2}$ を $2 x^{4}$ で因数分解します。

$2 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

ステップ 5.2.1.2

$2 x^{2}$ を $20 x^{3}$ で因数分解します。

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 48 x^{2} = 0$

ステップ 5.2.1.3

$2 x^{2}$ を $48 x^{2}$ で因数分解します。

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 2 x^{2} (24) = 0$

ステップ 5.2.1.4

$2 x^{2}$ を $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x)$ で因数分解します。

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (24) = 0$

ステップ 5.2.1.5

$2 x^{2}$ を $2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (24)$ で因数分解します。

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x + 24) = 0$

ステップ 5.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 10 x + 24$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $24$ で、その和が $10$ です。

$4, 6$

ステップ 5.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$2 x^{2} ((x + 4) (x + 6)) = 0$

ステップ 5.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 x^{2} (x + 4) (x + 6) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 6 = 0$

ステップ 5.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 5.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 5.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 5.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 5.6

$x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

ステップ 5.6.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 5.7

最終解は $2 x^{2} (x + 4) (x + 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 4, - 6$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, - 4, - 6$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$8 {(0)}^{3} + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$8 \cdot 0 + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

ステップ 9.1.2

$8$ に $0$ をかけます。

$0 + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

ステップ 9.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 60 \cdot 0 + 96 (0)$

ステップ 9.1.4

$60$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 96 (0)$

ステップ 9.1.5

$96$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0$

ステップ 9.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0$

ステップ 9.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ の区間 $(- \infty, - 6)$ から $- 8$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 8$ で置換えます。

$f' (- 8) = 2 {(- 8)}^{4} + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$- 8$ を $4$ 乗します。

$f' (- 8) = 2 \cdot 4096 + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

ステップ 10.2.2.1.2

$2$ に $4096$ をかけます。

$f' (- 8) = 8192 + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

ステップ 10.2.2.1.3

$- 8$ を $3$ 乗します。

$f' (- 8) = 8192 + 20 \cdot - 512 + 48 {(- 8)}^{2}$

ステップ 10.2.2.1.4

$20$ に $- 512$ をかけます。

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 48 {(- 8)}^{2}$

ステップ 10.2.2.1.5

$- 8$ を $2$ 乗します。

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 48 \cdot 64$

ステップ 10.2.2.1.6

$48$ に $64$ をかけます。

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 3072$

ステップ 10.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1

$8192$ から $10240$ を引きます。

$f' (- 8) = - 2048 + 3072$

ステップ 10.2.2.2.2

$- 2048$ と $3072$ をたし算します。

$f' (- 8) = 1024$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $1024$ です。

$1024$

ステップ 10.3

一次導関数 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ の区間 $(- 6, - 4)$ から $- 5$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f' (- 5) = 2 {(- 5)}^{4} + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$- 5$ を $4$ 乗します。

$f' (- 5) = 2 \cdot 625 + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

ステップ 10.3.2.1.2

$2$ に $625$ をかけます。

$f' (- 5) = 1250 + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

ステップ 10.3.2.1.3

$- 5$ を $3$ 乗します。

$f' (- 5) = 1250 + 20 \cdot - 125 + 48 {(- 5)}^{2}$

ステップ 10.3.2.1.4

$20$ に $- 125$ をかけます。

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 48 {(- 5)}^{2}$

ステップ 10.3.2.1.5

$- 5$ を $2$ 乗します。

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 48 \cdot 25$

ステップ 10.3.2.1.6

$48$ に $25$ をかけます。

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 1200$

ステップ 10.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.2.1

$1250$ から $2500$ を引きます。

$f' (- 5) = - 1250 + 1200$

ステップ 10.3.2.2.2

$- 1250$ と $1200$ をたし算します。

$f' (- 5) = - 50$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $- 50$ です。

$- 50$

ステップ 10.4

一次導関数 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ の区間 $(- 4, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = 2 {(- 2)}^{4} + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

ステップ 10.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f' (- 2) = 2 \cdot 16 + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.2

$2$ に $16$ をかけます。

$f' (- 2) = 32 + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.3

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f' (- 2) = 32 + 20 \cdot - 8 + 48 {(- 2)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.4

$20$ に $- 8$ をかけます。

$f' (- 2) = 32 - 160 + 48 {(- 2)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.5

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = 32 - 160 + 48 \cdot 4$

ステップ 10.4.2.1.6

$48$ に $4$ をかけます。

$f' (- 2) = 32 - 160 + 192$

ステップ 10.4.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.2.1

$32$ から $160$ を引きます。

$f' (- 2) = - 128 + 192$

ステップ 10.4.2.2.2

$- 128$ と $192$ をたし算します。

$f' (- 2) = 64$

ステップ 10.4.2.3

最終的な答えは $64$ です。

$64$

ステップ 10.5

一次導関数 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ の区間 $(0, \infty)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = 2 {(2)}^{4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

ステップ 10.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1.1

指数を足して $2$ に ${(2)}^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1.1.1

$2$ に ${(2)}^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1.1.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$f' (2) = 2 {(2)}^{4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

ステップ 10.5.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (2) = 2^{1 + 4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

ステップ 10.5.2.1.1.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$f' (2) = 2^{5} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

ステップ 10.5.2.1.2

$2$ を $5$ 乗します。

$f' (2) = 32 + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

ステップ 10.5.2.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$f' (2) = 32 + 20 \cdot 8 + 48 {(2)}^{2}$

ステップ 10.5.2.1.4

$20$ に $8$ をかけます。

$f' (2) = 32 + 160 + 48 {(2)}^{2}$

ステップ 10.5.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = 32 + 160 + 48 \cdot 4$

ステップ 10.5.2.1.6

$48$ に $4$ をかけます。

$f' (2) = 32 + 160 + 192$

ステップ 10.5.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.2.1

$32$ と $160$ をたし算します。

$f' (2) = 192 + 192$

ステップ 10.5.2.2.2

$192$ と $192$ をたし算します。

$f' (2) = 384$

ステップ 10.5.2.3

最終的な答えは $384$ です。

$384$

ステップ 10.6

$x = - 6$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = - 6$ は極大値です。

$x = - 6$ は極大値です

ステップ 10.7

$x = - 4$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = - 4$ は極小値です。

$x = - 4$ は極小値です

ステップ 10.8

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 10.9

$f (x) = \frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$ の極値です。

$x = - 6$ は極大値です

$x = - 4$ は極小値です

$x = - 6$ は極大値です

$x = - 4$ は極小値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例