微分積分例

$f (x) = x^{2} | x |$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = | x |$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [| x |] + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $| x |$ の微分係数は $\frac{x}{| x |}$ です。

$x^{2} \frac{x}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$x^{2}$ と $\frac{x}{| x |}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} x}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} x^{1}}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2 + 1}}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.4.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{3}}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{3}}{| x |} + | x | (2 x)$

ステップ 1.1.6

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{x^{3}}{| x |} + 2 x | x |$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $\frac{x^{3}}{| x |} + 2 x | x |$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{| x |}] + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{| x |}] + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{| x |}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = | x |$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{| x | \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [| x |]}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{| x | (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [| x |]}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

ステップ 1.2.2.3

$x$ に関する $| x |$ の微分係数は $\frac{x}{| x |}$ です。

$\frac{| x | (3 x^{2}) - x^{3} \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

ステップ 1.2.2.4

$\frac{x}{| x |}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x \cdot x^{3}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

ステップ 1.2.2.5

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.5.1

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.5.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{1} x^{3}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

ステップ 1.2.2.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{1 + 3}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

ステップ 1.2.2.5.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [2 x | x |]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x | x |$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x | x |]$ です。

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x | x |]$

ステップ 1.2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = | x |$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (x \frac{d}{d x} [| x |] + | x | \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.3.3

$x$ に関する $| x |$ の微分係数は $\frac{x}{| x |}$ です。

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (x \frac{x}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (x \frac{x}{| x |} + | x | \cdot 1)$

ステップ 1.2.3.5

$x$ と $\frac{x}{| x |}$ をまとめます。

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x \cdot x}{| x |} + | x | \cdot 1)$

ステップ 1.2.3.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x^{1} x}{| x |} + | x | \cdot 1)$

ステップ 1.2.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x |} + | x | \cdot 1)$

ステップ 1.2.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x^{1 + 1}}{| x |} + | x | \cdot 1)$

ステップ 1.2.3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x^{2}}{| x |} + | x | \cdot 1)$

ステップ 1.2.3.10

$| x |$ に $1$ をかけます。

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x^{2}}{| x |} + | x |)$

ステップ 1.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 \frac{x^{2}}{| x |} + 2 | x |$

ステップ 1.2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

$2$ と $\frac{x^{2}}{| x |}$ をまとめます。

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{2 x^{2}}{| x |} + 2 | x |$

ステップ 1.2.4.2.2

$2 | x |$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{| x |}^{2}}{{| x |}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{2 | x | {| x |}^{2}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 | x | {| x |}^{2}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.2.4

指数を足して $| x |$ に ${| x |}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.4.1

${| x |}^{2}$ を移動させます。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 ({| x |}^{2} | x |)}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.2.4.2

${| x |}^{2}$ に $| x |$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.4.2.1

$| x |$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 ({| x |}^{2} {| x |}^{1})}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.2.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 {| x |}^{2 + 1}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.2.4.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{3 | x | x^{2} - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.2

項を並べ替えます。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{- \frac{x^{4}}{| x |} + 2 {| x |}^{3} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.3

$2 {| x |}^{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{| x |}{| x |}$ を掛けます。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{- \frac{x^{4}}{| x |} + \frac{2 {| x |}^{3} | x |}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 {| x |}^{3} | x |}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1.5.1

指数を足して ${| x |}^{3}$ に $| x |$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1.5.1.1

$| x |$ を移動させます。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 (| x | {| x |}^{3})}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.5.1.2

$| x |$ に ${| x |}^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1.5.1.2.1

$| x |$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 ({| x |}^{1} {| x |}^{3})}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.5.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 {| x |}^{1 + 3}}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.5.1.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 {| x |}^{4}}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.5.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{4}$ の絶対値を削除します。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 x^{4}}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.5.3

$- x^{4}$ と $2 x^{4}$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{4}}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.6

$3 x^{2} | x |$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{| x |}{| x |}$ を掛けます。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{4}}{| x |} + \frac{3 x^{2} | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{4} + 3 x^{2} | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1.8.1

$x^{2}$ を $x^{4} + 3 x^{2} | x | | x |$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1.8.1.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} x^{2} + 3 x^{2} | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.8.1.2

$x^{2}$ を $3 x^{2} | x | | x |$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (3 | x | | x |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.8.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} (3 | x | | x |)$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x | | x |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.8.2

$3 | x | | x |$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1.8.2.1

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x \cdot x |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.8.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x^{1} x |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.8.2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x^{1} x^{1} |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.8.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x^{1 + 1} |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.8.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x^{2} |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.8.3

絶対値から非負の項を削除します。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 x^{2})}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.8.4

$x^{2}$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} \cdot 4 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.8.5

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1.8.5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} x^{2} \cdot 4}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.8.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2 + 2} \cdot 4}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.8.5.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{4} \cdot 4}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.1.9

$4$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{4 x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{4 x^{4}}{| x |}}{x^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{4 x^{4}}{| x |} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.4

まとめる。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{4 x^{4} \cdot 1}{| x | x^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.5

$x^{4}$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.5.1

$x^{2}$ を $4 x^{4} \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{x^{2} (4 x^{2} \cdot 1)}{| x | x^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.5.2.1

$x^{2}$ を $| x | x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{x^{2} (4 x^{2} \cdot 1)}{x^{2} | x |}$

ステップ 1.2.4.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{x^{2} (4 x^{2} \cdot 1)}{x^{2} | x |}$

ステップ 1.2.4.3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{4 x^{2} \cdot 1}{| x |}$

ステップ 1.2.4.3.6

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{4 x^{2}}{| x |}$

ステップ 1.2.4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x^{2} + 4 x^{2}}{| x |}$

ステップ 1.2.4.5

$2 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{6 x^{2}}{| x |}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{6 x^{2}}{| x |}$ です。

$\frac{6 x^{2}}{| x |}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{6 x^{2}}{| x |} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{6 x^{2}}{| x |} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$6 x^{2} = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$6 x^{2} = 0$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$6 x^{2} = 0$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 2.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 2.3.1.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{0}{6}$

ステップ 2.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

$0$ を $6$ で割ります。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.3.3

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.3.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.3.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.4

$\frac{6 x^{2}}{| x |} = 0$ が真にならない解を除外します。

$解がありません$

ステップ 3

二次導関数が $0$ に等しくなるような値が見つかりません。

変曲点がありません

微分積分 例

微分積分例