微分積分例

$e^{x} (3 + e^{- x})$

ステップ 1

$e^{x} (3 + e^{- x})$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{x} (3 + e^{- x})$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int e^{x} (3 + e^{- x}) d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\int e^{x} \cdot 3 + e^{x} e^{- x} d x$

ステップ 4.2

$3$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$\int 3 \cdot e^{x} + e^{x} e^{- x} d x$

ステップ 4.3

指数を足して $e^{x}$ に $e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 3 \cdot e^{x} + e^{x - x} d x$

ステップ 4.3.2

$x$ から $x$ を引きます。

$\int 3 \cdot e^{x} + e^{0} d x$

$\int 3 \cdot e^{x} + e^{0} d x$

ステップ 4.4

$e^{0}$ を簡約します。

$\int 3 e^{x} + 1 d x$

$\int 3 e^{x} + 1 d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 3 e^{x} d x + \int d x$

ステップ 6

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int e^{x} d x + \int d x$

ステップ 7

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$3 (e^{x} + C) + \int d x$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$3 (e^{x} + C) + x + C$

ステップ 9

簡約します。

$3 e^{x} + x + C$

ステップ 10

答えは関数 $f (x) = e^{x} (3 + e^{- x})$ の不定積分です。

$F (x) =$ $3 e^{x} + x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$