微分積分例

${(x^{2} + 1)}^{2 x}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

${(x^{2} + 1)}^{2 x}$ を $e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2 x})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2 x})}]$

ステップ 1.2

$2 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(x^{2} + 1)}^{2 x})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x \ln (x^{2} + 1)}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x \ln (x^{2} + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x \ln (x^{2} + 1)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x \ln (x^{2} + 1)]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x \ln (x^{2} + 1)]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x \ln (x^{2} + 1)$ で置き換えます。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [2 x \ln (x^{2} + 1)]$

ステップ 3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x \ln (x^{2} + 1)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2} + 1)]$ です。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2} + 1)])$

ステップ 4

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x^{2} + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2} + 1$ とします。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (x (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ と $x$ をまとめます。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 6.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 6.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 6.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} (2 x + 0) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 6.5

分数をまとめます。

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ステップ 6.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} (2 x) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 6.5.2

$2$ と $\frac{x}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 6.5.3

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ と $x$ をまとめます。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x \cdot x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 7

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 8

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 10

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \cdot 1))$

ステップ 12

$\ln (x^{2} + 1)$ に $1$ をかけます。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1)))$

ステップ 13

$\ln (x^{2} + 1)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ を掛けます。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}))$

ステップ 14

公分母の分子をまとめます。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 \frac{2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1})$

ステップ 15

$2$ と $\frac{2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 (2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 16

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)}$ と $\frac{2 (2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\frac{e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (2 x^{2}) + 2 (\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

ステップ 17.2

分子を簡約します。

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ステップ 17.2.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x^{2} + 1)$ を簡約します。

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (2 (2 x^{2}) + 2 (\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

ステップ 17.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 17.2.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 (\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

ステップ 17.2.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 (\ln (x^{2} + 1) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) \cdot 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 17.2.2.3

$\ln (x^{2} + 1)$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 (\ln (x^{2} + 1) x^{2} + \ln (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

ステップ 17.2.2.4

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 (\ln (x^{2} + 1) x^{2}) + 2 \ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 17.2.2.5

$2 (\ln (x^{2} + 1) x^{2})$ を掛けます。

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ステップ 17.2.2.5.1

$\ln (x^{2} + 1)$ と $2$ を並べ替えます。

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 \cdot \ln (x^{2} + 1) x^{2} + 2 \ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 17.2.2.5.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \cdot \ln (x^{2} + 1)$ を簡約します。

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2} + 2 \ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 17.2.2.6

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x^{2} + 1)$ を簡約します。

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2} + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}))}{x^{2} + 1}$

ステップ 17.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 17.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{4 e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} x^{2} + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 17.2.5

$4 e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} x^{2} + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{4 x^{2} e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} + x^{2} e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

ステップ 17.3

項を並べ替えます。

$\frac{4 e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} x^{2} + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} x^{2} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

微分積分 例

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